tema 1829. aasta lehe 169. leht. See on lihtsaim näide funktsioonist, mille puhul tema Fourier'i teoreemi tõestamine ebaõnnestub (kuna see pole integreeritav):

Jääks meile juhtumi kaalumine kus järjepidevuse purunemiste arvu ning maksimum- ja miinimumväärtuste arvu kohta tehtud oletused lakkavad kehtimast. (...) Ühel oleks näide funktsioonist, mis neid ei rahulda, kui eeldame, et $ \ phi (x) $ on võrdne kindla konstandiga $ c $ , kui muutuja $ x $ eeldab ratsionaalset väärtust ja võrdub teise konstandiga $ d $ , kui see muutuja on irratsionaalne. Nii määratletud funktsioonil on lõplikud ja määratud väärtused mis tahes väärtuse $ x $ jaoks, kuid siiski ei saa seda sarjas asendada, kuna selles seerias esinevad erinevad integraalid kaotavad sel juhul igasuguse tähtsuse.

Funktsiooni tänapäevase määratluse ajalugu on pikk ja väga keeruline. See algab Euleri, Bernoulli ja d'Alemberti aruteluga, mis oli seotud hiljem Fourieri sarjaga. Kaasaegne määratlus arenes välja alles 19. sajandi keskpaigaks ja tavaliselt kuulub Dirichletile. Ta tõi selle näite oma määratluse illustreerimiseks. Kogu arutelu jaoks on suurepärane artikkel

MR1613935 Luzin, N. Funktsioon. I. Amer. Matemaatika. Igakuine 105 (1998), nr. 1, 59–67.

MR1615544 Luzin, N. Funktsioon. II. Amer. Matemaatika. Igakuine 105 (1998), nr. 3, 263–270.