Küsimus:
Kas Euclid pidas ringjooneid veel üheks suurusjärguks?
Hans-Peter Stricker
2018-10-28 03:18:38 UTC
view on stackexchange narkive permalink

[Kohandasin küsimust kajastamaks seda, mida olen õppinud Alexandre'i vastusest: et Euclid ei räägi kunagi pikkustest ja pindaladest, vaid ainult joone segmentidest ja kujunditest (nagu ruudud). Küsimus ise jääb muutumatuks.]


Eukleidi jaoks olid suurused asjad, mida saab omavahel võrrelda, olla üksteisega võrdsed, väiksemad või suuremad, mis saab liita ja lahutada ning sellel võivad olla proportsioonid. (Nende kõrval olid numbrid , teist tüüpi samade omadustega asi.)

Euclidi selgesõnaliselt ja peamiselt käsitletakse nelja suurust:

  • sirgjooneliste segmentide pikkused

  • sirgjooneliste segmentide vahelised nurgad

  • tasapindade kujundite alad (hulknurgad ja ringid)

  • tahkete kujundite (hulktahud ja kerad) mahud

Korrutada saab ainult sirgjooneliste segmentide pikkusi (andes arvud aladele ja mahtudele ), samuti numbreid (andes

Ta tegeleb ka ringjoone segmentide pikkustega , vähemalt kogu ringi (ümbermõõt) pikkusega .

Kuid kas ta kusagil räägib selgesõnaliselt suvaliste ringi segmentide pikkusest ja võrdleb, lisab või lahutab neid?

Lisaks: kas ta oli teadlik, et nurk on "proportsionaalne" -iga vastava ringjoone pikkus ja kas see kasutas seda (mis poleks tema jaoks tähendanud, et need kaks oleksid ühesugused)?

Kaks vastused:
Conifold
2018-10-29 04:18:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Suurusi võiks võrrelda ja neil oleks proportsioonid, liidetud või lahutatud, kuid ainult meeldida suurusjärkudele. Eksemplaride jaoks tähendas segmentide lisamine nende jämedat liitmist (sama aladega), mitte seostamist mõne muu tüüpi asjaga, näiteks arvuga, ja seejärel nende lisamist. Pikkusi ei saanud võrrelda ega seostada näiteks aladega. Mis puutub ringjoone pikkustesse, siis Euclidi puhul ei kehti "ümbermõõt" mitte ainult kogu ringi, vaid ka kaare suhtes, vt nt. VI raamat, väide 33:

" Võrdsete ringide nurkadel on sama suhe kui ümbermõõtudel, millel nad seisavad, olenemata sellest, kas nad seisavad keskpunktides või ümbermõõdud. "

Kas ümbermõõdud võiksid olla seotud sirglõikudega, on parandamise probleem omamoodi kvadratuuriprobleemiga, seostades kumeraid alasid sirgjoonelistega, ja seda saab teha ainult seda, mida nüüd nimetatakse "kurnamismeetodiks". Euclid ei võta seda Elementides arvesse, et ümbermõõdud on tema eesmärkide jaoks piisavad, kui nende läbimõõt on piisav.

Teie vastuse esimene osa oli mulle juba selge (ja ma ei tahtnud erinevalt suuruste võrdlemist ja lisamist paluda). Kuid teie vastuse teine ​​osa vastab minu küsimusele ideaalselt. Aitäh.
Alexandre Eremenko
2018-10-28 20:20:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vastupidiselt sellele, mida te ütlete, ei määra Euclid kunagi geomeetrilistele kujunditele ühtegi numbrit. Ta ei räägi kunagi pikkusest ega nurga mõõdust (ta ei kasuta kraadi). Pindade ja mahtude puhul on keerulisem, mida Euclid tõesti võrreldakse, kuid määramata neile numbreid. Euklidi vaatepunktist on kahel hulknurgal sama pindala, kui ühe saab osadeks lahata ja seejärel need osad ümber korraldada, et moodustada teine ​​hulknurk. See töötab nüüd ringi või 3-d polüüpidega, kuid Euclidis pole kunagi ringi pindala ja polütopi maht tegelikult määratletud.

Kõiki neid asju on R-i raamatus väga hästi selgitatud . Hartshorne, Euclidi kaaslane, mis on minu arvates parim Euclidi ekspositsioon tänapäevaselt.

Mis te arvate, miks ma ütlesin, et Euclid määras geomeetrilistele kujunditele suvalised numbrid? Ma ei tahtnud seda vihjata.
Kuigi Euclid ei räägi "pikkusest", räägib ta "suurusjärkudest", kas pole?
Ei, ta ei räägi suurusjärkudest. Ta räägib ainult võrdlusest: suurem, väiksem ja võrdne. On tõsi, et ta räägib ringi pindalast ühes väites, kuid ta ei määratle kunagi, mis see on. (Vaadake minu ans-s mainitud raamatut).
Aga [määratlus V.I] (https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookV/defV1.html)?
@Hans Stricker: see sõna tähendab midagi muud kui see, mida me praegu mõtleme. Ta võrdleb segmente segmentidega, alasid aladega jne. Ja kasutab sõna "suurusjärk" tähistamaks kahte sarnast asja, mida ta võrdleb.
Teisisõnu: suurusjärk (vana) on miski, millel ** on suurusjärk (uus)? Joone segmendil (suurusjärk Euclidi mõistes) on pikkus (suurusjärk täna).
@Hans Sticker: jah. "Rida" (lõik) on Euclidis "suurusjärk", kuid ta ei kasuta sõna "pikkus". Ta võib öelda, et kaks segmenti on võrdsed (saab üksteise peale panna) või üks on suurem (kui teist saab liigutada, et saada osa esimesest. Sarnaselt nurkade, pindalade ja mahtudega.


See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 4.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...