John Napier (1550–1617) avaldas oma logaritmitabeli Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio pärast paarkümmend aastat kestnud tööd 1644. aastal ja kirjeldas seda tema ehitusmeetod Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio -s, mille poeg Robert avaldas postuumselt aastal 1619 (Edinburgh) koos Napieri ja Henry Briggsi (1561-1630) lisadega ). Briggs töötas koos Napieriga tabeli avaldamisele järgnenud suvel arvutusmeetodite täiustamisel kuni Napieri surmani ja avaldas oma meetodi aastal 1624 ( Vlacqi 1628. aasta väljaanne). Järgnev põhineb Constructio , Macdonaldi tõlkel ja Goldstine'i kokkuvõttel jaotises Ametliku analüüsi ajalugu 16. – 19. Sajand (1977), 2–13.
Geomeetriliste ja aritmeetiliste progressioonide omadused olid Napieri aegade jaoks hästi teada ning seos võimude jada ja sellele vastava eksponentide järjestuse vahel, mida me nimetame eksponentide seaduseks, on pärit iidsest matemaatikast (vrd Euclid IX.11 ja Archimedes, The Sand Reckoner ). Ma ei tea, mis võimaldas Napieril luua logaritmideni viinud võtmeühenduse (või teiselt poolt, mis takistas avastamist varem). Ma arvan, et Napier on see, et arvutamist mõeldi peamiselt täisarvude või täisarvude (või murdude) suhetena ja Napieril on raskusi logaritmide täisarvude arvutamise täpseks muutmiseks. Tema läbimurdeidee on üsna geniaalne ja üllatav (vähemalt minu jaoks). See peab arvestama kahe pidevalt liikuva punktiga, millest üks (tähistades logaritmi) suureneb "aritmeetiliselt", teine aga (tähistades seda, mida me nüüd argumendiks nimetaksime) väheneb "geomeetriliselt". Aritmeetiline liikumine on siin sama, mis ühtlane liikumine, samas kui geomeetrilise liikumise korral tõestab Napier, et geomeetriliselt kindla punkti suunas liikuva punkti kiirused on "proportsionaalsed selle kaugusega fikseeritud punktist". (Prop. 25) Tänapäeva mõistes on aritmeetiliste ja geomeetriliste järjestuste pidev interpoleerimine.
Nagu paljud esimesed proovimised, tõi see kaasa ka mõningaid ebamugavusi. Tema tabeli avaldamise ajaks pidas Napier silmas mõningaid parandusi, mis on lisatud Constructio lisasse. Üks neist on see, et 1 logaritm peaks olema 0 ja 10 logaritm peaks olema kena arv, näiteks $ 10 ^ {10} $. (Tundub, et see on suur, nii et logaritme saab täisarvudes täpselt väljendada.) Ka Briggs nägi arenguruumi ja see viis teda Napieri otsima. Briggs avaldas tabeli Logarithmorum Chilias Prima s (1617), mis on esimene avaldatud 10-põhise logaritmi tabel, ja pani mõned märkused Constructio teise lisasse.
Napier tegeleb kiiruste ja vahemaadega sama lihtsalt kui meie tuletiste ja integraalidega. Tegelikult pole nüüdisaegsest vaatenurgast tegelikult vahet. Tänapäevases mõistes võime esindada Napieri logaritmi määratlust (Prop. 26):
Antud siinuse "kunstlik arv" (logaritm) on see, mis on aritmeetiliselt kasvanud alati koos sama kiirus kui kogu siinus [hakkas] geomeetriliselt vähenema ja samal ajal kui kogu siinus langes antud sinuseni.
Kogu Constructio vältel Napier kutsub logaritmi numerus kunstlikuks ja antud numbrit kas sinus või numerus naturalis . "Kogu siinus" on fikseeritud pikkus, mille kaudu geomeetriliselt liikuv punkt saab liikuda. Seda saab tõlkida kui "raadiust" ja antud siinus on sellest väiksem või sellega võrdne; trigonomeetriat konstruktsioonis siiski ei esine, seega on nimed mõnevõrra mõttetud. Niisiis hakkab punkt liikuma siinust $ r = TS $ mööda alates $ T $ suunas $ S $. Olgu $ x $ kaugus dollarist $ S $, nii et $ r-x $ on teisaldatud kaugus. Siis on ettepaneku 25 järgi $$ {d \ over dt} (rx) = x $ $ (kus saame valida ajaühiku nii, et proportsionaalsuse konstant oleks $ 1 $.) Kui laseme $ y $ tähistada kaugus, mille aritmeetiliselt liikuv punkt on läbinud, on meil $ dy / dt = r $. Seega on Napieri definitsioon tänapäeva mõistes samaväärne algväärtuse probleemiga $$ {d \ over dt} (rx) = x, \ {d \ over dt} y = r, \ x (0) = r, \ y (0 ) = 0 $$, kuna punktis $ x = r $ on kaks kiirust võrdsed. (Siin on tähistus sama, mis Goldstineil.) Napier võtab $ r = 10 ^ 7 $ ja sellest järeldub, et Napieri logaritm on $$ y = 10 ^ r \ log 10 ^ r / x = 10 ^ 7 \ log 10 ^ 7 / x \,. $$ Logaritmi $ y $ arvutamiseks kasutab ta oma definitsiooni, et tõestada ebavõrdsust $$ \ frac {r (rx)} {x} <y<r-x, \ quad \ frac {r (x_1- x_2)} {x_1} <y_2-y_1< \ frac {r (x_1-x_2)} {x_2} $$
kus $ x_1>x_2 $ ja $ y_1, y_2 $ on vastavad logaritmid. Neid ebavõrdsusi on integraali omaduste põhjal lihtne tõestada, kuid Napier tegi seda kiiruste ja vahemaade osas.
Napieri esimene samm ehitamisel tema tabel on ligikaudne logaritmiga $ x = 9 \, 999 \, 999 $, üks vähem kui siinus $ 10 ^ 7 $. Esimesest ebavõrdsusest alates on tal $ $ 1 < y < 1.00000010000001 $$ Ta jagab erinevuse ja võtab $ y = 1.00000005 $ (mis tähendab viga alla $ 10 ^ {- 14} $). Selle abil saab ta geomeetrilise jada logaritme täita esimeste terminitena $ r $ ja $ x $. Ta teeb seda kuni 9999900.0004950 $. Ta alustab uut geomeetrilist järjestust $ r $ ja $ x = 9999900 $ väärtusega kuni peaaegu 9995001 $. Seejärel ehitab ta 69 veeruga ulatuslikuma tabeli, nii et veerud ja read oleksid mõlemad geomeetrilises progressioonis, alustades $ n = 10 ^ 7 $ ühes nurgas ja lõpetades $ x = 4998609.4034 $ või umbes $ r / 2 $ , vastupidises nurgas. Nendega ehitas ta oma lõpliku tabeli "Logaritmide kaanon".
Pange tähele, et kui $ y = l (x) $ on Napieri logaritm, siis $$ l (ab) = l (a) + l (b) -l (1) $$ Sellest sai ta aru, et kui $ l (1) = 0 $, oleks logaritme lihtsam kasutada. Kuid ta oli oma laua juba valmis ehitanud. Mõni küsib Napieri logaritmi "baasi" kohta. Arvestades, et see pole tõeline tänapäevane logaritm, on sellele veidi keeruline vastata. Kui arvate, et $ 10 ^ 7 \ log x $ on $ l (x) $ aluseks olev põhifunktsioon, võite sellest mõelda kas skaleeritud loodusliku logaritmi või logaritmina, mille paaritu alusega on $ \ exp (10 ^ {- 7}) $. Vikipeedia Napieri logaritmi baas on tegelikult $ 10 ^ 7 / (10 ^ 7 - 1) $; kuid see tähendaks, et logaritm $ x = 9 \, 999 \, 999 $ on täpselt $ y = 1 $, mitte $ y = 1.00000005 $, nagu Napier arvutas. Eespool mainitud Briggsi baas-10 logaritm on tõesti 10 $ ^ 9 \ log_ {10} x $.