Lobachevsky teine oluline panus oli hüperboolse trigonomeetria väljatöötamine (aksioomidest lähtuvalt: erinevalt tänapäevastest ravimeetoditest ei kasutanud ta ühtegi mudelit, kuna tal ei olnud ühtegi). Selle arenduse huvitav ja sageli tähelepanuta jäetud rakendus on Lobatševski geomeetria ainulaadsus :
teoreem. Oletame, et $ X_1, X_2 $ on tühikud, mis rahuldavad Lobachevsky aksioome sama "kõveruse normaliseerimisega": Igal ideaalsel kolmnurgal on mõlemas geomeetrias pindala $ c $. (Soovi korral võite võtta $ c = \ pi $, see vastab kumerusele $ -1 $.) Siis on $ X_1 $ isomeetriline väärtusele $ X_2 $.
Võin huvi korral selgitada, kuidas see juhtub.
Muuda :
tõend. Valige X_1 $ -st baaspunkt $ o_1 \ ja $ o $ -st lähtuv võrdluskiir $ \ rho_1 $. See määrab $ X_1 $ "polaarkoordinaadid", nimelt $ P (r, \ theta) $, kus $ r $ on kaugus $ P $ kuni $ o_1 $ ja $ \ theta \ in [0,2 \ pi ) $, (orienteeritud) nurk vahemikus $ o_1P $ ja $ \ rho_1 $. Nüüd tehke sama teises ruumis $ X_2 $: valige baaspunkt $ o_2 $, kiir $ \ rho_2 $ jne.
Seejärel määrake kaart $ f: X_1 \ kuni X_2 $ saates $ P (r, \ theta) \ X_1 $-s $ Q (r, \ theta) \ sisse X_2 $. See on selgelt bijektsioon, tõestagem, et see on isomeetria. Võtke kaks punkti $ A, B \ punktis X_1 $. Siis on nende kaugus dollarites X_1 $ antud hüperboolse koosinuseadusega (Lobatševski tõttu: ma ei kontrollinud, kuid on võimalik, et ka Bolyai tõestas seda):
$$ cosh (| AB |) = cosh (| o_1A |) cosh (| o_1B |) - sinh (| o_1A |) sinh (| o_1B |) cos (\ nurk (Ao_1B)). $$
Ehituse järgi säilitab kaart $ f $ kõik kogused selle võrrandi paremal küljel (kaugus alguspunktini ja nurk). Kuna hüperboolne koosinusvalem kehtib ka $ X_2 $ puhul, järeldub sellest, et $ f $ on isomeetria. qed
Selles tõestuses kasutatakse orienteeritud nurga mõistet, mida saab hõlpsasti vältida, töötades ühes pooltasandis $ X_i $ -des (määratletud ainulaadse joonega kuni $ \ rho_i $ $ i = 1,2 $) korraga.