Võib küsida, kas Betti numbritest piisab suletud pinna määramiseks vaatepunktist analüüsi situs. See tähendab, et arvestades kahte sama Betti numbriga pinda, küsime, kas on võimalik pideva deformatsiooniga ühelt teisele edasi liikuda. See kehtib kolme dimensiooni ruumis ja võime kalduda uskuma, et see on jälle tõsi igas ruumis. Vastupidine on tõsi.
Selgituseks tahan läheneda küsimusele uuest vaatenurgast. Olgu $$ x_1, x_2, \ dots, x_ {n + 1} $$ pinnal asuva punkti koordinaadid. Need $ n + 1 $ suurused on ühendatud pinna võrrandiga. Olgu nüüd $$ F_1, F_2, \ dots, F_p $$ kõik $ n + 1 $ koordinaatide $ x $ funktsioonid $ p $ (mida ma arvan alati ühendavat pinna võrrandiga ja mis ma arvan võtta ainult reaalseid väärtusi).
Ma ei eelda, et funktsioonid $ F $ oleksid ühtsed, kuid eeldan, et kui
punkt $ (x_1, x_2, \ dots, x_ {n + 1}) $ kirjeldab pinnal äärmiselt väikest kontuuri, seejärel naaseb iga funktsioon $ F $ oma algväärtuse juurde. Seda eeldades, et meie punkt kirjeldab nüüd pinnal lõplikku suletud kontuuri. Siis võib juhtuda, et funktsioonid $ p $ ei naase oma algväärtuste juurde, vaid muutuvad selle asemel $$ F_1 ', F_2', \ dots, F_p '$$
Teisisõnu, nad läbivad asendus $$ (F_1, F_2, \ dots, F_p; F_1 ', F_2', \ dots, F _; '). $$ Kõik asendused, mis vastavad erinevatele suletud kontuuridele, mida saame pinnal jälgida, moodustavad rühma, mis on katkendlik (vähemalt vormi osas).
See rühm sõltub ilmselt funktsioonide valikust $ F $. Oletame, et kõigepealt on need funktsioonid kõige paremini ette kujutatavad, välja arvatud juhul, kui neile kehtivad ülaltoodud tingimused, ja olgu $ G $ vastav rühm. Kui $ G '$ on rühm, mis vastab teisele funktsioonivalikule, siis on $ G' $ isomorfne väärtusega $ G $ - üldiselt hologeediliselt, kuid erijuhtudel $ ^ 1 $ merryly.
Grupp Seejärel saab $ G $ kasutada pinna kuju määratlemiseks ja seda nimetatakse pinna rühmaks $ ^ 2 $. On selge, et kui kaks pinda saab kumbagi pideva teisendamise teel teisendada, siis on nende rühmad isomorfsed. Kuigi see on vähem ilmne, kehtib see suletud pindade puhul jälle nii, et see, mis määrab suletud pinna, on Analysis situs'e seisukohast selle rühm $ ^ 3 $.
ploki tsitaat>
$ ^ 1 $ Terminoloogia "holoedric isomorphism" ja "meriedric isomorphism" vastavad tänapäevastele vastavalt isomorfismi ja homomorfismi mõistetele.
$ ^ 2 $ nimetas Analysis situs enda §12 põhirühmaks .
$ ^ 3 $ See kehtib pindade kohta traditsioonilises, kahemõõtmelises tähenduses, kuid mitte kolmemõõtmeliste kollektorite kohta. Analysis situs §14 lõpus tõi Poincaré üles küsimuse, kas kaks sama rühmaga kollektorit on tingimata homomorfsed.
Kokkuvõtteks võib öelda, et mõiste ilmus Poincaré püüdlustes üsna loomulikult klassifitseerida pinnad / kollektorid kuni homeomorfismini.