Kneseri paber ( 1904) soovitab tungivalt, et idee (või isegi) ulatuks tagasi Cauchy juurde seoses Sturm-Liouville probleemidega (st tavalised diferentsiaaloperaatorid) (erinevalt teie küsimuse põhiosas laplakist). Antud funktsioonid $ g, k, l $ ja $ \ smash {L = \ frac d {dx} \ left ( k \ frac {d} {dx} \, \ cdot \ right) - l}, $ Kneser peab probleemiks [meie jaoks: "omaväärtus"] $$ LV + rgV = 0 $$ koos piiritingimustega $$ \ left [k \ frac {dV} {dx} -hV \ right] (0) = 0, \ qquad \ left [k \ frac {dV} {dx} + HV \ right] (X) = 0. \ tag1 $$ Sturm-Liouville'i ( 1837) küsimuse lahendamine $ f (x) $ saab laiendada rea ​​lahendusteks $ V_ \ nu $ , mis kuuluvad [ omaväärtused ”] $ r_ \ nu $ : $$ f (x) = A_1V_1 + A_2V_2 + \ cdots, \ tag3 $$ Kneser kirjutab:

Konkreetsed analüütilised arengud, mida selleks kasutan, on inspireeritud või ammutatud Dini ( 1880), Harnacki () asjakohasest tööst 1887), Poincaré ( 1894, 1895) ja Stekloff ( 1901); kuid põhiidee on seletatav järgmiselt.

Kõik need hiljutised autorid kasutavad seadet, mille Cauchy ( 1827) tutvustas Fourieri seeria uurimisel: nad loovad keerulise muutuja $ r $ , mis sisaldab parameetrina $ x $ ja millel on poolused $ r = r_ \ nu $ selle ainsate ainulaadsustena ja toodab jääkidena seeria $ (3) $ vastavaid termineid. Poincaré tõi ilmselt kõigepealt välja [arvan, et siin: ( 1894, 1895)], et Cauchy abifunktsioon on [resolventi] $ \ smash {(L + rg) ^ {- 1}} $ ] $$ LV + rgV + f (x) = 0 $$ tingimustele vastavad $ (1) $ .

Kuigi seda varajast kirjandust pole kerge lugeda, on traktaadid Picardist ( 1893, lk 167-183), Poincaré ( 1895, lk 210-223) ja Watsonist ( 1922, lk . 576–617) on peatükkide pikkused näited sellest, mis ajalooliselt võivad olla esimesed kolm juhtumit:

1. $ (g, k, l ) = (1,1,0) $ saidil $ [0, \ pi] $ Dirichleti piiritingimustega. Seejärel $ V_ \ nu = \ sin (\ nu x) $ , $ \ smash {r_ \ nu = \ nu ^ 2} $ ja (3) on Fourieri siinusari. Või Neumanni tingimused, $ V_ \ nu = \ cos (\ nu x) $ ja koosinuseseeriad; mille Picard (lk 177) ja Poincaré (lk 220) omistavad Cauchyle ( 1827, lk 364-365).

2. $ (g, k, l) = (1,1,0) $ saidil $ [ 0,1] $ koos Fourieri sfääri jahutamistingimustega ( 1822, lk 340–342): $ V (0) = 0 $ ja $ V (1) = AV '(1) $ mõne $ A>1 $ jaoks. Seejärel $ V_ \ nu = \ sin (k_ \ nu x) $ ja $ \ smash {r_ \ nu = k_ \ nu ^ 2} $ , kus $ k_ \ nu $ on $ \ tan (k) positiivsed lahendused ) = Ak $ . Nii et (3) on „mitteharmooniline Fourieri sari”, mille Picard (lk 178–83) ja Poincaré (lk 168–179, 220–223) omistavad Cauchyle.

3. $ (g, k, l) = (x, x, a ^ 2 / x) $ saidil $ [ 0,1] $ koos $ V (1) = 0 $ ja ainsuse lõpp-punktis pole ühtegi tingimust $ 0 $ . Seejärel $ V_ \ nu = J_a (k_ \ nu x) $ ja $ \ smash {r_ \ nu = k_ \ nu ^ 2} $ kus $ k_ \ nu $ on funktsiooni Bessel juured $ J_a $ . Nii et (3) on “Fourier-Besseli sari”, mille Watson (lk 582–591) omistab Schläflile ( 1876).

Lisatud märkus: Cauchy varasem (ja võib-olla kõige selgem) avaldus ilmneb tema Application du calcul des résidus à l'intégration des équations différentielles linéaires et à koefitsientide konstandid (Harjutused matemaatikast 1 ( 1826) 202-204 = Œuvres (2) 6 ( 1887) 252–255):

Kõigepealt kaaluge diferentsiaalvõrrandi $$ \ frac {d ^ ny} {dx ^ n} + a_1 integreerimise ülesannet \ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1}} + a_2 \ frac {d ^ {n-2} y} {dx ^ {n-2}} + \ ldots + a_ { n-1} \ frac {dy} {dx} + a_ny = 0, \ tag1 $$ kus $ a_1, a_2, \ dots a_ {n-1}, a_n $ tähistavad konstantseid koefitsiente; ja laseme lühidalt $$ F (r) = r ^ n + a_1r ^ {n-1} + a_2r ^ {n-2} + \ dots + a_ {n-1} r + a_n. \ tag2 $$ On selge, et võrrandi (1) täitmiseks piisab, kui võtate $$ y = \ raise {-1ex} {\ tohutu {\ mathcal E}} \, \ frac {\ varphi (r) \, e ^ {rx}} {((\, F (r) \,))}}, tag3 $$ kus $ \ varphi (r) $ tähistab $ r $ mis tahes funktsiooni, mis ei muutu väärtuste jaoks lõpmatuks $ r $ , mis kinnitab valemit $$ F (r) = 0. \ tag4 $$

(Muidugi pole see veel diferentsiaaloperaatori omaväärtuste raamistikus. Nii saab see siis, kui asendame $ a_n $ autor $ a_n - \ lambda $ , kuid Cauchy nimetas (4)„ karakteristlikku võrrandit ”alles 1839 / a> ja juurte nimed näivad olevat tulnud ka hiljem - ma pole kindel, millal.)

ka süü jaoks meetrilised operaatorid (või ruutvormid) $ \ mathbf R ^ n $ on kõik Weierstrassis ( 1859), vrd. lk. 219.