Küsimus:
Millised rühma teoreetilised tulemused olid teada mitme erijuhtumi kohta enne rühma üldise määratluse kehtestamist?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Paljud rühmateooria tulemused olid tõestatud permutatsioonirühmade jaoks enne rühma üldise määratluse kehtestamist (näiteks: Lagrange'i teoreem, Sylowi teoreemid). Kuid XIX sajandil ei olnud permutatsioonigrupid ainsad, mida uuriti, oli ka geomeetriliste teisenduste rühmi ja arvuteooriast tulenevaid rühmi (ma ei oska tegelikult rohkem üksikasju anda, sest ma ei tea ausalt öeldes üksikasju).

Kas enne rühma ülddefinitsiooni koostamist olid mitme konkreetse juhtumi puhul teada muud üldised grupiteooria tulemused kui ainult permutatsioonigrupid? Küsin, sest mõtlen, kas sellised "kokkusattumused" võisid motiveerida grupi üldist määratlust. Näiteks Lagrange'i teoreem oli 19. sajandil tuntud nii permutatsioonigruppide kui ka korrutava rühma $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ jaoks ( Euleri kaudu).

Tõenäoliselt tasub juhtida tähelepanu (ehkki te kindlasti seda teate), et Cayley teoreem kehtib abstraktsete rühmade puhul mis tahes puhtalt grupiteoreetilise tulemuse kohta, mida permutatsioonigruppide puhul saab tõestada.
Viienda järgu polünoomide lahendamatust radikaalide poolt tõestati minu teada Galois'i ees. Ta pani aluse üldisele juhtumile. Võiksite vaielda, kui grupiteoreetiline see on.
Kaks vastused:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

McTutori arhiivi artikkel The Abstract Group Concept annab ülevaate sammudest kaasaegse abstraktse definitsiooni suunas. Lühidalt öeldes tegi Cayley esimesed komistamiskatsed (viidates selgesõnaliselt assotsiatsiooniseadusele) 1854. aasta paberil, kuid alles 1895. aastal andis Weber oma Lehrbuch der Algebra s moodsa määratluse. Weber hõlmas lõpmatuid rühmi.

Mis puutub algsesse küsimusse: peale teie mainitud Lagrange'i teoreemi, siis ma pole teadlik juhtudest, kus abstraktne määratlus ühtlustaks varasemaid eraldi tulemusi. Tundub, et abstraktne määratlus pole sellest soovist ajendatud. Siiski on tõsi, et Lie grupid said otsest inspiratsiooni Galoisi permutatsioonigruppidest ja Lie soovist välja töötada Galois'i teooriale analoogne diferentsiaalvõrrandite teooria.

Samuti tundub usutav, et Weber, kirjutades algebrat käsitleva põhjaliku teksti, nägi võimalust ühendada erinevad mõisted. Kuid see on minu poolt vaid oletamine.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Peaaegu kõik" leiti enne rühma üldise tänapäevase definitsiooni väljakujundamist :-) Ma pole kindel, kes andis abstraktse rühma esimese määratluse (kui selliseid ja selliseid aksioome rahuldava operatsiooniga komplekt). Kuid arvatavasti juhtus see 20. sajandil (seda krediteeritakse erinevatele inimestele). 19. sajandi matemaatikute jaoks oli rühm rühm komplekti teisendusi iseendaks. Ja esimesed sügavad tulemused kuuluvad Lagrange'i ja Galoisile.

Cayleyle omistatakse üldiselt grupi abstraktne määratlus. Ma arvan, et samas 1854. aasta dokumendis, kus ta tõestas Cayley teoreemi.
@Michael Weiss: Kas oskate Cayley paberile viidata? Kas ta pidas ainult piiratud või meelevaldseid rühmi? Kui see nii on, siis olid enne 1854. aastat kõik tulemused tõestatud enne grupi üldist määratlemist. Eriti Galois teooria.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Ma pole ise artiklit lugenud, sellest ka minu kommentaari sõnastus.
@Michal Weiss:, ma lugesin esimest lehte ja see kinnitab minu öeldut: Cayley jaoks on grupi ELEMETNS "operatsioonid" või "teisendused", pigem mõne abstraktse komplekti elemendid :-) Ma arvan, et keegi ei kasutanud " seab "süstemaatiliselt Cantori ette.
Õige sa oled, kuigi ülejäänud artiklit lugedes leiad, et ta kompab moodsa kontseptsiooni poole. Vahepeal leidsin McTutori arhiiviartikli, mis kirjeldab abstraktse kontseptsiooni arengut.


See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...