Küsimus:
Funktsiooni mõiste ja valemi kui funktsiooni idee
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enderton Hulgateooria elemendid , lk. 43 (1977, Academic Press) kirjutab:

Tekkis vastumeelsus eraldada funktsiooni mõiste funktsiooni määratleva kirjaliku valemi ideest.

Mis on ülaltoodud ajaloolise väite alus? Ja umbes millal eraldus funktsiooni mõiste ja valemi idee kindlalt?

Tundub huvitav, et sellel, mida tänapäeval peetakse elementaarseks veaks, oli tugev ajalooline alus.

Täielik tsitaat Endertonilt:

Enderton, p. 43

See küsimus postitati algselt aadressil Math.SE.

Niipalju kui ma tean, puudub alus arvamusele, et sõna otseses mõttes oleks olnud vastumeelsust. Ma ei usu, et keegi oleks selle mõiste üldistamisele kunagi aktiivselt vastu hakanud.
Sellegipoolest arvan, et @JackM on selle taga huvitav ajalugu. Mäletan, et üks kuulus matemaatik tutvustas funktsiooni ametlikku mõistet, üsna palju hiljem, kui eeldasin, et see on tehtud (kuid ma ei mäleta üksikasju).
Neli vastused:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Näete funktsiooni kontseptsiooni ajalugu.

Euleri (1748) jaoks:

muutuva suurusega funktsioon on analüütiline avaldis, mis koosneb mis tahes viisil muutuvast suurusest ja arvudest või konstantsetest suurustest

st funktsioon oli „sümboolne avaldis”, mis sai väärtuse „sisend”, mis võimaldab meil arvutada vastava väljundi väärtuse.

Tundub, et see asub Diricheletis (1837, lk 135) ), et võime leida funktsiooni mõiste esimese selgesõnalise määratluse „suvaline kaasvastavus”:

Kui nüüd on ainulaadne lõplik $ y $ , mis vastab igale $ x $ , ja pealegi nii, et kui $ x $ jääb pidevalt vahemikku $ a $ kuni $ b $ , $ y = f (x) $ varieerub samuti pidevalt, siis $ y $ nimetatakse selle intervalli korral x pidevaks funktsiooniks.

Siin pole üldse vajalik, et $ y $ esitataks $ x $ kogu sama seaduse järgi kogu intervalli ning pole vajalik, et seda peetakse sõltuvuseks, mida väljendatakse matemaatiliste tehete abil [rõhutus lisatud].

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Soovitan Luzini suurepärast kontot igakuises väljaandes: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59–67 ja 3, 263–270.

Tavaliselt ei arvestata sellega on tegelikult kaasaegses matemaatikas mitu erinevat funktsiooni mõistet. Üks on Dirichleti määratlus, mida tavaliselt tsiteeritakse (kus kahele hulgale antakse X ja Y ning reegel, mis X iga elemendi jaoks paneb vastavusse Y elemendi). X on definitsiooni osa!

Nii et tüübi "find $ $ log ((x-1) (x-2)) $ $ probleemil pole sellest mõtet mõtet määratlus.

18. sajandil mõistis Euler funktsiooni kui mõnda analüütilist väljendit, mille domeeni pole ette antud. See erinev (Dirichleti määratlusest lähtuv) mõiste ei ole "aegunud". See arenes kaasaegseks "analüütilise funktsiooni" määratlus. Jämedalt öeldes on "analüütilisel avaldisel" "loomulik määratluse domeen", mida pole ette antud. Ja tüüpi probleemid "leia domeen o Analüütilise funktsiooni f määratlus on tänapäevases matemaatikas täiesti mõistlik.

Kaasaegses matemaatikas on ka muid funktsioone käsitlevaid mõisteid (üldistatud funktsioonid või jaotused), mis samuti ei sobi Dirichleti definitsiooni. Pealegi on need üldistatud funktsioonid mõnes mõttes lähemal sellele, mida füüsikud ja insenerid funktsiooni all mõtlevad kui Dirichleti määratlus.

Kõigile huvilistele postitasin vastuse matemaatika StackExchange küsimusele [Mis oli funktsioonide tähistus enne Eulerit?] (Http://math.stackexchange.com/questions/) funktsiooniidee arengut käsitleva 12 artikli loendi. 79613 / mis oli funktsioonide enne eulerit tähistamine).
Ma ei tea kõiki neid artikleid, kuid tean enamikku neist. Nad ei räägi teile lugu pärast 19. sajandi keskpaika. Ja funktsiooni kontseptsiooni arendati ja muudeti 20. sajandil oluliselt.
@AlexandreEremenko: Kas teil on viidet sellele, kus Dirichlet määratleb funktsiooni, mis koosneb reeglist, mis annab hulga vahelise vastavuse? Dirichleti antud definitsioonides, mida ma olen näinud, nimetab ta funktsiooni $ y $ (väärtusest $ x $).
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Lihtsalt lisamiseks. Pärast funktsiooni standardse, kaasaegse määratluse andmist märgib Stephen Abbott ( Analüüsi mõistmine lk. 7):

See funktsiooni määratlus on enam-vähem ühe pakkus välja Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) 1830. aastatel. Dirichlet oli saksa matemaatik, kes oli üks peamisi funktsioone käsitleva range lähenemisviisi väljatöötamise eestvedajaid. Tema peamine motivatsioon oli Fourieri seeriate lähenemisega seotud probleemide lahti harutamine. Dirichleti panus on silmapaistvalt jaotises 8.3, kus esitatakse Fourieri seeria sissejuhatus, kuid tema nime kohtame ka mitmes varasemas peatükis. Praegu on oluline see, et näeme, kuidas Dirichleti funktsiooni määratlus vabastab termini selle tõlgendamisest kui "valemi" tüübist. Dirichleti ajani eelnenud aastatel mõisteti funktsiooni mõistet üldiselt algebralistele üksustele nagu $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ või $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [Ülaltoodud määratlus] võimaldab palju laiemaid võimalusi.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ma ei arva, et see on nii selge sõnaga, kuna populaarne arvamus ("Euler mõtles ainult sümboolsetele väljenditele, Dirichlet andis nüüdisaegse määratluse") paneb meid uskuma. Mõelgem näiteks Eulersi hilisema töö funktsioonide määratlusele, Institutiones calculi differentialis , 1755, Eessõna p.VI ::

Seega, kui mõned kogused sõltuvad teistest suurustest nii, et kui viimaseid muudetakse, siis esimesed muutuvad, siis esimesi nimetatakse suuruseks; see määratlus kehtib üsna laialdaselt ja selles sisalduvad kõik viisid, kuidas teised saavad ühe koguse määrata. Kui seetõttu tähistab $ x $ muutuvat kogust, nimetatakse kõiki funktsioone, mis sõltuvad mingil viisil dollarist $ $ või on selle määratud.

Näited on $ x ^ {2 } $, ruut $ x $ või mis tahes muud astet $ x $, ja isegi kogused, mis on nende jõududega mingil viisil kokku pandud, isegi transtsendentaalid, olenemata sellest, mis sõltub dollarist $ $ sellisel viisil et kui $ x $ suureneb või väheneb, funktsioon muutub. Sellest asjaolust tuleneb küsimus; nimelt, kui suurust $ x $ suurendatakse või vähendatakse, siis kui palju funktsiooni muudetakse, kas see suureneb või väheneb?

Minu arvates ei erine see oluliselt Dirichleti öeldust .

Pealegi ei rääkinud Dirichlet kunagi komplektidest ega kaardi domeenist ega koodomeenist ega nimetanud funktsiooni "reegel", nagu seda teeb tänapäevane määratlus, mille leiate kõigist raamatutest. Vaadake ka Kes kõigepealt pidas $ f (x) $ -d $ $ iseenesest objektiks ja kes otsustas seda funktsiooniks nimetada?



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...