Küsimus:
Millised on tõendid selle kohta, et Fermatil oli tõend oma viimase lause kohta?
Carlos Bribiescas
2014-10-29 02:11:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kas on tõenäoline, et peale selle, et Fermat oli geenius, oli tal tõestus olemas?

  • Kas tema aja matemaatika võimaldaks tal seda tõestada sarnaselt Andrew Wilesiga?
  • Kas me oleme kaotanud suure osa tema teostest?
  • Kas seda tegi ta sageli? See tähendab, öelge, et tal oli ühel paberil sõel ja tõestage see hiljem teises paberil?
  • On äärmiselt ebatõenäoline, et tal oli tõendeid, peame nägema ainult selle tulemuse tõestamise hilisemaid katseid, nagu teised Kummeri sarnased, ja võime arvata, et isegi kui Fermat arvas, et tal on tõend, peab see kindlasti olema olnud vale.
    See on tõendid: https://www.quora.com/How-did-Fermat-so-simply-discover-and-proved-the-truth-of-his-own-wonderful-conjecture-for-infinitely-many -integrers-mitte-ainult-vormi-4n / answer / Bassam-Karzeddin-1? srid = 2rMF
    Kolm vastused:
    #1
    +69
    Logan M
    2014-10-29 08:25:08 UTC
    view on stackexchange narkive permalink

    Teine vastus on õige. Lisaks on märkimisväärseid tõendeid selle kohta, et Fermatil polnud tõestust teoreemi kohta, mida praegu tuntakse Fermati viimase teoreemina.

    Kõigepealt peaksime märkima, et Fermat ei olnud professionaalne matemaatik, vaid ainult amatöör. Ta pole kunagi ise matemaatikat avaldanud. Just sellega ei tunduks imelik, et ta oma tõendeid ei avaldanud. Kuid tema poeg Samuel otsustas koguda Fermati kirjutisi ja kirju. Kuulus serv, mis oli tõendamiseks liiga väike, oli Fermati koopia Diophantuse Arithmetica marginaal. Fermat kirjutas selle märkme tõenäoliselt umbes 1630. aastal, kui ta seda teksti esimest korda õppima hakkas.

    Tema kirjutistest ja kirjadest näeme ühist suundumust. Peaaegu kõik probleemid, mida Fermat mainis, et need on lahendatud, lisati tema töösse rohkem kui üks kord, tavaliselt sõnastati see väljakutse probleemidena, mille ta saatis seejärel erinevatele matemaatikutele, kellega ta oli kirjavahetuses. Kuid FLT ilmub selles veerus ainult üks kord. Seda ei mainita enam üheski kirjutises, mille Samuel suutis leida. Eeldades, et tal on tõesti (pikk) tõend, mis ei ole vale, oleks ta selle tõenäoliselt kirja pannud või arutanud teiste matemaatikutega, nagu ta tegi seda sisuliselt kõigi teiste leitud tulemustega.

    Tegelikult tema kirjutistest leiame hilisemaid viiteid teoreemi erijuhtudele (vt Wikipedia, Proofs of Fermat's Last Theorem for konkreetsed eksponendid). Nii juhtumeid $ n = 3 $ kui ka $ n = 4 $ leidub tema hilisemates kirjutistes. Pole selge, kas ta teadis juhtumi $ n = 3 $ tõendeid, kuid kui ta seda tegi, polnud see tema surma ajal teada ja ühtegi ei leitud enne Eulerit 1760. aastal. Siiski saatis ta 1636. aastal mitu kirja, 1640 ja 1657, mis sisaldavad seda juhtumit probleemina. Fermati ainus säilinud tõend on samaväärne juhtumi $ n = 4 $ tõendiga. Tundub väga kummaline, kui ta tõdes probleemi 1630. aastal kõigi $ n $ eest ja seejärel palju hilisemates kirjutistes, spetsialiseerudes kahele juhtumile.

    Seda silmas pidades näib olevat kolm võimalust.

    1. Fermat ei tahtnud kunagi väita, et ta teab FLT tõestust kõigi $ n> 2 $ ja ainult soovis FLT-d oletada. Ta võis kavatseda spetsialiseeruda $ n = 3 $ ja / või $ n = 4 $. See oli lõppude lõpuks amatöörmatemaatiku privaatne kirjutamine, kes alles õppis numbriteooriat. Seda ei olnud kunagi ette nähtud teistele teatavaks teha ja tema teatistest ei leia sellist väidet. Pole selge, mida ta oleks mõelnud marginaalis oleva märkuse all.

    2. Fermat uskus, et tal oli selle kohta tõend kõigi tol ajal $ n> 2 $ kohta. Kuid ta eksis ja avastas selle suure tõenäosusega ise, üritades tõendeid üles kirjutada. See seletaks tema hilisemaid spetsialiseerumisi juhtumitele $ n = 3 $ ja $ n = 4 $, mis ise ei ole tühised, ning otsust mitte edastada tulemust ühegi matemaatikuga, kellega ta oli kokku puutunud. Mis see tõestus täpselt olla võis, pole selge. Paljud inimesed pole pärast seda suutnud FLT-d mitmel viisil tõestada. Olles väga helde, oleks ta võinud teha eelduse, mis oleks sarnane või kuidagi samaväärne Lamé 1847. aasta ebaõnnestunud katsega, st et $ \ mathbb Z [\ zeta_n] $ (kus $ \ zeta_n $ on ürgne $ n $ - th ühtsuse juur) on kõigi $ n $ ainulaadne faktoriseerimine. Isegi see oleks olnud tema ajast kaugel ees. Kuid ka tema viga oleks võinud olla midagi argisemat.

    3. Fermat (kes oli lihtsalt amatöör, ehkki ülimalt andekas) leidis FLT-st õige elementaarse tõendi, mis on sellest ajast alates tuhandetest matemaatikutest kõrvale hoidnud keerukama tehnoloogia ja arvuteooria täieliku mõistmise üle 350 aastat. Ta ei kirjutanud seda kunagi ega edastanud seda tulemust ühelegi matemaatikule, eelistades arutada vaid kahte konkreetset juhtumit. Seda ei saa tehniliselt välistada, kuid see näib olevat äärmiselt ebatõenäoline ja ainsad seda toetavad tõendid on privaatne märkus, mille teksti veeresse kritseldas mees, kes õppis arvuteooriat esimest korda.

    Kaks esimest võimalust tunduvad mõlemad mõistlikud, kolmas aga peaaegu täiesti absurdne. See ei oleks ainus juhtum, kus Fermat uskus, et tal on tulemus, mis on täielikult tõestatud alles hiljem. hulknurksete arvude teoreem on veel üks suur juhtum, mida Legendre tõestas ainult ruutude puhul 1770. aastal, Gauss kolmnurkade puhul 1796. aastal ja Cauchy üldiselt 1812. aastal. Eelkõige tekitas Gauss tõsiseid kahtlusi. Fermatil oli selle kohta tõend. Kõige populaarsem oletus on võimalus 2, et Fermatil oli mingisugune argument, mis oli vigane, kuid võib-olla mõnes väikeses eksponendis. Tema meetoditest pole veel piisavalt teada, et arvata, mis see meetod oli, ja tõestus, mille ta esitas $ n = 4 $ eest, ei üldista kuidagi selgelt teiste eksponentide suhtes.

    Pole lihtsalt võimalik, et Fermat avastas Wilesi tõestusega samaväärse tõendi. See oleks olnud võimatu; Wileesi tõestuse mõistmiseks vajalikud mõisted töötati välja alles 20. sajandil.

    Esimene võimalus on siiski mitte-starter, nagu ääremärkuses on sõnaselgelt öeldud: "Olen leidnud selle fakti kõige imelisema tõestuse [demonstrationem mirabilem] ..."
    @MichaelWeiss Kuigi ma olen nõus, et esimene variant tundub ebatavaline, ei ole võimalik seda täielikult välistada. Fermat oleks võinud selle kirjutamisel lihtsalt valetada. Ma ei näe tema jaoks selleks head põhjust, kuid see tundub siiski palju tõenäolisem kui kolmas võimalus.
    Vaidlemata, kas 1. või 3. variant on ebatõenäolisem, arvan, et võime nõustuda, et 2. variant on täiesti usutav.
    Kas on olnud juhtumeid, kus Fermat väitis (eelistatult eraviisilistes kirjutistes), et lahendas probleemi, kuid mõistis hiljem, et eksis?
    @MichaelWeiss, see ei oleks esimene kord, kui keegi mõtleb imelisele ja lihtsale tõestusele, et hiljem veidi hiljem teada saada, et kogu idee on täiesti rajalt väljas.
    Tuleb tõesti mainida, et Fermati ajal oli "professionaalse matemaatiku" mõistel üldse vähe mõistust ja kindlasti väga kaugel sellest, mis sai 100 aastat hiljem (Bernoullis, Euler) või 150 või 200. Nii et öelda, et ta oli "amatöör" on sisuliselt tühi. Lisaks ei olnud nendel aegadel tõelist mõistet "eelretsenseeritud ajakirja väljaanne".
    @paulgarrett Arvan, et mõistate minu vastust valesti. Ma ei väida, et Fermat polnud oma eluajal kunagi professionaalse kaliibriga matemaatik. Pigem on oluline märkida, et kõik tõendid viitavad sellele, et ta kirjutas selle märkuse * esimest korda Arithmeticat lugedes * (oleksin pidanud selle ilmselt selgemaks tegema). Aastaks 1636 võis Fermat pidada oma aja tippkaliburi matemaatikuks, kuid 1630. aastate alguses õppis ta esimest korda arvuteooria aluseid ...
    ... Samamoodi, kui "Peer Review" erines praegusest väga erinevalt, levitas Fermat oma teoste käsikirju analüütilises geomeetrias teiste tolleaegsete usaldusväärsete matemaatikute seas ning oli erinevates punktides kirjavahetuses Mersenne'i, Robervali ja Étienne'iga. Pascal, Carcavi ja veel üsna paljud. Ta keeldus oma teoseid ametlikult avaldamast (erinevalt enamikust teistest tolleaegsetest matemaatikutest), kuid seda suhtlust tuleks siiski pidada "vastastikuse eksperdihinnangu" vormiks ja fakt on see, et ta ei tundnud kunagi end mugavalt, kui väidetav FLT vaadati läbi suurema osa tema muud väited olid.
    Ma arvan, et (1) ja (3) on tugevad argumendid, kuid pole kaugeltki otsustavad. Vaadake näiteks hiljuti avastatud polünoomi algtesti. Ma arvan, et (2) on tõeliselt tugev argument - kui Fermanil oleks tõendid olemas, poleks tal olnud põhjust leida konkreetseid tõendeid 3. ja 4. kohta.
    #2
    +27
    rogerl
    2014-10-29 02:17:07 UTC
    view on stackexchange narkive permalink

    Ei saa kuidagi olla, et Fermatil oleks võinud midagi läheneda nüüdseks üldtunnustatud tõestusele. Peaaegu ühtegi selle tõendi mõistet ei tuntud Fermati ajal mingil kujul.

    Lisaks on Fermat tuntud väga väheste tõestuste avaldamise poolest; peaaegu ükski pole tänapäeval ellu jäänud ja isegi 1800-ndatel oli matemaatikakogukonnas märkimisväärne kahtlus, et tal on tõendeid paljuski selle kohta, mida ta faktina väitis. (See ei vähenda tema tulemusi; tegelikult muudab see veelgi muljetavaldavamaks, et tema intuitsioon viis ta nii paljude tulemusteni hiljem tõeks.)

    @VicAche Teie pakutud muudatus on kasulik, kuid see peaks tõesti olema kommentaar, mitte osa minu postitusest (osaliselt seetõttu, et see on * teie * mõte, mitte minu oma).
    Panen selle sinna tagasi: Pascali kiideti umbes samal ajal, kui Fermat kirjutas, et ta EI teinud tegelikult katseid, mille tulemused ta avaldas. See annab veidi rohkem perspektiivi kontekstist, kus C17-C18 prototeadlased töötavad.
    @VicAche - olen segaduses; kui ta katseid ei teinud, siis kuidas tal tulemused olid? Kas teil on linke edasiseks lugemiseks?
    #3
    +3
    Misha
    2017-02-12 22:49:01 UTC
    view on stackexchange narkive permalink

    Meie olemasolevate tõendite põhjal on kõige tõenäolisem, et Fermat pole isegi väitnud omavat FLT tõendit. Vaadake laia arutelu Mathoverflow'is siin. Tsiteeritud aktsepteeritud vastusest:

    Me ei tea mitte ainult kuupäeva, vaid isegi ei tea, kas ta üldse märkuse kirjutas. Kõigile, mida me teame, võis selle leiutada tema poeg Samuel, kes avaldas oma isa kommentaarid.

    Fermat ei maininud oma kirjades kordagi üldist juhtumit, vaid esitas üsna sageli probleemi juhtumite lahendamiseks. n = 3 ja n = 4. Olen peaaegu kindel, et Fermat avastas 1640. aasta paiku lõpmatu laskumise, mis tähendab, et 1637. aastal ei olnud tal mingit võimalust tõendada FLT eksponendi 4 jaoks (rääkimata üldiselt).

    See kommentaar tehti ainult selleks, et rõhutada meie teadmatust selles küsimuses.
    Mulle tundub, et see tsitaat kajastab mõnevõrra valesti Franzi vastust: järgmine lause on * "Aastal 1637 teatas Fermat ka hulknurkse arvu teoreemi ja väitis, et tal on tõend; see on peaaegu sama ebatõenäoline kui FLT puhul - - Ma arvan, et Fermat ei olnud nendel esimestel päevadel tegelikult ettevaatlik. "*


    See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
    Loading...