Küsimus:
2 ruutjuure irratsionaalsus
Spectre
2014-10-29 02:05:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Me teame, et Pythagorased Vana-Kreekas avastasid, et kahe ruutjuur on irratsionaalne arv. Miks oli see avastus ajalooliselt märkimisväärne? Mis väärtus oli see teadmine vanakreeklastele?

Neli vastused:
#1
+22
Mauro ALLEGRANZA
2014-10-30 20:48:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ma ei nõustu tõlgenduse mõningate üksikasjadega, mis puudutavad $ \ sqrt {2} $ irratsionaalsuse avastamist kui segadust

pütaagorlaste [...] veendumusest, et kõiki numbreid võiks konstrueerida 2 numbri suhtena.

Minu arusaamatu on see, et kogu "arhailine" kreeka matemaatika jagas (kaudset) eeldust, et kahe suuruse, nt. kui kaks segmenti pikkusega $ a, b $, on alati võimalik leida segment "unit unit" $ u $ selliselt, et see mõõdaks mõlemat, st selline, et [kasutades tänapäevaseid algebralisi valemeid, mis on täiesti kreeka matemaatika jaoks võõras]:

$$ a = n \ korda u \ \ text {ja} \ b = m \ korda u \ \ text {sobivaks} \ n, m $$

Eeltoodud eelduse eksemplarist järeldub, et: $$ \ frac {a} {b} = \ frac {n \ korda u} {m \ korda u} = \ frac {n} {m} $$

Eelduseks öeldakse, et kahe suuruse suhe on alati täisarvude suhe (st tänapäevases mõttes: ratsionaalne arv) .

Kuid pange tähele, et Kreeka matemaatika puhul on ainult numbrid loomulikud ja neid tuleb eristada suurusjärkudest : segment, ruut, ... mis on "mõõdetud" arvudega.

Vanakreeklaste jaoks pole ratsionaalseid numbreid; kuid ainult sobiva ühiku kordadega mõõdetavad suurused.

irratsionaalsete suuruste olemasolu avastamine, tõestades, et juhtum, kus $ a $ on ruudu külg ja $ b $ on diagonaal ei ole väljendatav suhtena (looduslike) arvude vahel, viib Kreeka matemaatika ülalnimetatud (kaudse) eelduse tagasivõtmiseni, mida võime nimetada: "ühtlustatavuse eelduseks" ja geomeetria aksiomatiseerimiseks, st süstemaatiliseks püüdluseks selgesõnaliselt loetleda kõik vajalikud eeldused.

#2
+14
Carlos Bribiescas
2014-10-29 02:30:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

selle lingi järgi on Legendi sõnul Hippasus kõigepealt avastanud $ \ sqrt {2} $ irratsionaalsuse. Teises lingis mainitakse tegelikult legendi, mille kohaselt mõrvasid Pythagorase pooldajad Hippasuse - kes väidetavalt avastas keset merd asuvas paadis $ \ sqrt {2} $ irratsionaalsuse - visates ta kohe pärast teavitamist üle parda. neid tema avastusest.

Pythagorelased uskusid, et kõiki numbreid saab konstrueerida kahe numbri suhtena. (Et nad olid ratsionaalsed) Nii et põhimõtteliselt oli see suur asi, sest see lendas teadmistele vastu. Kogu nende töö põhines eeldusel, et ratsionaalsed arvud on kõik arvud.

Kõik uued tõendid, mis põhitõe täielikult ümber lükkavad, on sageli vastatud. Isegi (suhteliselt) moodsatel aegadel peeti kujuteldavaid numbreid "fiktiivseteks või kasututeks, isegi kui nullid ja negatiivsed arvud olid kunagi."

Btw, auto võib kaaluda $ \ pi $ tonni, kuid mitte $ 4 + 3 * \ sqrt {-1} $ tonni.
Ma näen teie mõtet. Tehniliselt oleks see võimalik, kui tema voo kondensaatoril lastakse 3i tonni ja ülejäänud see kaalub 4 tonni.
@peterh: Kas auto * võib tõesti * (sõnamäng) kaaluda $ \ pi $ tonni? Kuidas üks seda mõõdaks?
@TorstenSchoeneberg Mõõtmise täpsuse jaoks võib meil olla auto, mille mass on selle täpsusega $ \ pi $ tonn. Pange tähele, et reaalarvud on määratletud ratsionaalide kattega rea ​​ekvavaventsisuhtega. Me ei saa sama teha kujuteldava massiga.
#3
+11
Colin McLarty
2014-11-12 20:05:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Need legendid on olemas ja on juba pikka aega olemas. Kuid vähesed, kui mõni selle ala spetsialistidest ajaloolane usub, et pütaagorlased avastasid irratsionaalsuse $ \ sqrt {2} $. Vt:

Pythagoras vs Pythagorase idee

Kreeka matemaatikat on Eukleidi ees, rääkimata Platonist, väga raske hinnata, nagu on nii vähe tõendeid. Tänapäeval on selle kõige enam loetav üksik uurimus tõenäoliselt D. H. Fowleri Platoni akadeemia matemaatika ja mis on seda väärt, arvan, et tal võib ka õigus olla. Lühidalt öeldes väidab ta, et võrreldamatus oli Kreeka matemaatikute poolt hästi tuntud teema, nii palju kui meie tõendid meid viivad.

#4
+7
Manjil P. Saikia
2014-10-29 17:13:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Asjaolu, et $ \ sqrt {2} $ eksisteeris ja on irratsionaalne, oli löök iidsetele kreeklastele, kes uskusid ainult arvudesse, mida nad said vajaduse korral teatud täpsusega välja arvutada. Või teisisõnu, nad olid ratsionaalsete arvudega tuttavad. Asjaolu, et teised numbrid eksisteerisid, oleks neis kandnud samasuguseid tundeid nagu siis, kui me esimest korda kohtame selliseid teemasid nagu loendatavus ja loendamatus ning kontinuumihüpotees hulgateoorias. Esialgu võib see tunduda olevat mingisugune ringkiri ja vale argument, kuid teatud aja möödudes harjume sellega. Ja võib-olla tegid seda ka kreeklased.

Mis puutub praktilisusesse, siis poleks nende jaoks olnud palju otstarbekas, kuna nad ei oleks suutnud neid uusi numbreid mõõta nii täpselt, et nad olid kasutatud ka. Kuid kogu teadmiste kogumise mõte pole selles, kus neid teadmisi kasutada, vaid miks peaksid need teadmised üldse olemas olema.

Pange tähele, et irratsionaalarvusid saab * ka * arvutada meelevaldse täpsusega, kasutades lihtsalt ratsionaalarvu ($ \ mathbb Q $ on tihe kujul $ \ mathbb R $).


See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...