Küsimus:
Iidne Hiina numeratsioonisüsteem
rogerl
2014-10-29 02:13:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

On öeldud, et nulli leiutamine oli suur edasiminek mitte ainult abstraktses mõistmises, vaid ka võimes tutvustada kohaväärtuste märkimist ja arvutada; rooma numbritega arvutamine oli eriti kohmakas.

Kuid ka iidsetel hiinlastel polnud tegelikult kohaväärtuse märke ega nullisümbolit. Kuid see kultuur avastas palju üsna arenenud aritmeetilisi tulemusi (näiteks Hiina jääkteoreem).

Mis see täpselt oli lääne kultuuri nulla leiutamisest, mis oli nii kasulik?

Minu arusaama järgi oli see asjaolu, et seda välditi. Näiteks algebra põhiteoreem oleks juba varem välja öeldud, kui negatiivsed ruutjuured oleksid sujuvamad.
Abstraktsioon. Abstraktsiooni väärtus on see, et see võimaldab meil töötada formaalselt, arvestamata tähendusega. Nulli leiutamine oli oluline, kuna see suurendab abstraktsiooni taset ja seega vähendab vajadust tähendusjälgi jälgida.
Neli vastused:
#1
+19
Will Orrick
2014-10-31 08:37:27 UTC
view on stackexchange narkive permalink

On öeldud, et nulli leiutamine oli suur edasiminek mitte ainult abstraktses mõistmises, vaid ka võimes tutvustada kohaväärtuste märkimist ja arvutada; rooma numbritega arvutamine oli eriti kohmakas.

Koha-väärtussüsteemi loomiseks pole nulli vaja. Samuti pole keeruka matemaatika väljatöötamiseks null vajalik (või piisav). Mesopotaamialastel oli kohaväärtussüsteem hiljemalt 1800. aastal e.m.a, kuid tol ajal polnud neil ühtegi nulli sümbolit. Neil oli seksagesimaalne (alus-60) süsteem. Kuhu panime nulli, jätsid nad tühja koha. (Kuid ainult numbrite vahel, mitte tagumise numbrina, mis tähendas, et numbrite string määratles numbri ainult kuni 60-ni (mis võib tegelikult olla negatiivne). Numbri suurus pidi olema järeldas kontekstist.) Umbes 200 e.m.a olid Mesopotaamialased kehtestanud kohaomaniku nulli, kuid pole tõendeid, et nulli käsitleti iseseisva numbrina.

Kreeklased ei kasutanud kohta väärtussüsteem (kuigi Archimedes mõtles The Sand Reckoner is välja spetsiaalse kohaväärtuste süsteemi väga suurte arvude käsitlemiseks) ja ei tundnud nulli arvuna. Sellegipoolest saavutasid nad matemaatikas suuri asju, sealhulgas arendasid välja keeruka aksiomaatilise geomeetria, tõestasid ruutjuure 2 irratsionaalsust, tõestasid algarvude lõpmatust, töötasid välja keeruka teooria võrreldamatu suurusega suhetest, töötasid välja ammendumismeetodi ja kasutasid sfääri mahu ja paraboolse segmendi pindala arvutamiseks, koonusjaotuste teooria väljatöötamiseks ja nii edasi.

Maya, 1000 aastat CE järgi (ja ilmselt ka tükk aega varem), oli kohaväärtuste süsteem, mis kasutas nulli. Nendeks oli vigesimaalne (ehk alus-20) süsteem. Lisaks käsitleti nulli arvuna: loendamist alustati nende kalendris pigem nullist kui ühest. Nende kalender oli üsna keeruline ja neil oli ka hästi arenenud astronoomia. Sellest hoolimata ei näi, et nende matemaatika oleks väga kaugele jõudnud (kuigi seda on raske kindlalt öelda, kuna enamik nende esemeid hävitati). Näiteks pole tõendeid selle kohta, et neil oleks olnud korralik korrutamisalgoritm.

Hiina näidet on käsitletud teises vastuses. Vardanumbrite / loendusplaatide süsteem oli kindlasti kohaväärtuste süsteem. Selles süsteemis tähistati tühja kohta pigem tühiku jätmisega kui selgesõnalise nulliga. Paljud klassikaliste hiina matemaatiliste tekstide probleemilahendused sõnastati sammudena arvutusplaadil arvutamiseks. Hiina ülejäänud teoreemi taolise väljatöötamiseks pole vaja nulli. Mõiste "jätab järelejäänud nulli" saab alati sõnastada kui "jaguneb ühtlaselt". (Kreeka matemaatikas oleks kasutatud sarnast sõnastust.) Nagu juba märgitud, oli loendusplaadi tehnoloogial implitsiitne kohahoidja null, kuid mitte täisväärtuslik null. Loendusplaadi tehnoloogia oli piisavalt võimas, et võimaldada paljusid suurepäraseid saavutusi, näiteks pi väga täpne hindamine.

Tänapäevane null leiutati tegelikult Indias. Teadmised India süsteemist levisid kõigepealt islamimaailma ja hiljem Euroopasse. Indiaanlased teadsid, kuidas aritmeetikat nulliga teha, ja võtsid kasutusele idee, et $ 1/0 $ annab lõpmatu tulemuse.

Ma arvan, et on selge, et tõhusaid arvutussüsteeme saab välja töötada ilma selget nulli tunnustamata. See ei tähenda, et nulli tunnustamine arvuna ei olnud äärmiselt oluline. Kui tuua vaid üks näide, siis polünoomide juurte teooria muutub null (ja negatiivsete arvude) tuvastamisel palju vähem kohmakaks. Enne kui see juhtus, hõlmas teooria keerukat juhtumipõhist analüüsi. Kuup- ja kvandiku algebraline lahendus, mille renessansiajal avastasid del Ferro, Fontana, Cardano ja Ferrari, samuti Omar Khayyami varasemad tööd, nägid võrrandeid $ x ^ 3 = a $, $ x ^ 3 + bx = a $, $ x ^ 3 = bx + a $, $ x ^ 3 + bx ^ 2 + cx = d $ jne. Erinevate võrranditena, mis kõik vajavad individuaalset käsitlemist. Kindlasti kiirendas arengut võime ravida selliseid seotud võrrandite kogumeid ühtlaselt.

#2
+12
user22
2014-10-29 02:56:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Edukal nummerdussüsteemil ei olnud isegi kohaomanikuna 0, kuna neil polnud seda vaja, vastavalt Püha Andrease ülikooli veebisaidile Hiina numbrid, kuna nad arendasid süsteemi millel olid suuremate väärtuste sümbolid, st

enter image description here

Kuid

alates neljandast hakati kasutama teist Hiina numbrite vormi sajandil eKr, kui kasutusele võeti loendusplaadid. Loendusplaat koosnes ridade ja veergudega kontrollplaadist.

enter image description here

(Mõlemad pildid pärinevad ülaltoodud lingilt).

0-koha omaniku tähistamiseks jäeti selle asemele tühimik.

5. sajandil pKr kirjutatud Xiahou Yangi Xiahou Yangi suanjing (Xiahou Yangi matemaatiline käsiraamat) märgib, et arvu korrutamiseks 10, 100, 1000 või 10000-ga on vaja teha vaid järgmist: loendusplaadil olevaid vardasid liigutatakse vasakule 1, 2, 3 või 4 ruutu. Sarnaselt 10, 100, 1000 või 10000 jagamiseks liigutatakse vardad paremale 1, 2, 3 või 4 ruutu. Tähtis on see, et Xiahou Yang näib mõistvat kümne negatiivse jõuna lisaks kümnendmurdude ka positiivsetele jõududele.

Tähtsus lääne ideedele, vastavalt YaleGlobali veebiartiklile Ajalugu nullist (Wallin, 2002) algselt oli null kohahoidja (selles mõttes, et seda kasutati kümnete, sadade, tuhandete jaoks jne). Artikli kohaselt oli just Indias mõiste nullil omaette tähendust omada umbes 7. sajandil.

Nulli tähendus lääne kultuuris, kui see jõudis Euroopasse 12. keskel sajandil Hispaania kaudu ja 13. sajandi alguses Fibonacci kaudu, hankides kaupmeestele tõhusama viisi oma raamatute tasakaalustamiseks

Fibonacci arengud said Itaalia kaupmeestelt ja saksa pankuritelt kiiresti märku, eriti nullist. Raamatupidajad teadsid, et nende raamatupidamine on tasakaalus, kui nende varade ja kohustuste positiivne ja negatiivne summa on null.

null selles, mida me tunneme ristkülikukujuliste koordinaatide süsteemina. Koordinaadistiku alguspunkt tekkis punktis (0,0).

Sealt saadi vaieldamatult suurim nullimõiste uuendus nulliga jagamise dilemmast, mis (artiklist):

1600-ndatel lahendasid Newton ja Leibniz selle probleemi iseseisvalt ja avasid maailma tohututele võimalustele. Nullile lähenemisel numbritega töötades sündis arvutus, ilma milleta poleks meil füüsikat, inseneriteadusi ning paljusid majanduse ja rahanduse aspekte.

Kas selles raamatus käsitletakse edusamme, mille hiinlased saavutasid ilma nulli või koha märkimata?
Ei, nad olid keskendunud teie põhiküsimusele, mis puudutas mõju Lääne kultuurile - Hiina uuendused võiksid olla peaaegu eraldi küsimus.
Hmmm ... siis esitasin oma küsimuse halvasti. Jah, mind huvitas, miks null oli selline edasiminek ... aga mida ma tõepoolest proovisin küsida, oli "miks hiinlased saaksid teha nii palju kui nad tegid ilma nullita". Võib-olla valgustab sellele küsimusele vastamine, miks nulli leiutamine oli (või ei olnud) veelahe.
See küsimus on praegusel kujul väga asjakohane - kuna mõiste „0” sissetoomine Euroopasse mõjus monumentaalselt (nagu öeldud minu vastuses). Hiina aritmeetika oleks suurepärane lisaküsimus - usun, et see on väga erinev aspekt.
@rogerl Olen leidnud suurepärase allika selle kohta, mida hiinlased kasutasid - redigeerin selle vastuseks
Olen endiselt hämmingus, et kuidas te eristate 10, 100, 1000, ... Kui me kirjutame need tühjale paberilehele, kasutades arvusüsteemi, mille kohahoidjana pole märgitud „0”.
#3
  0
Tyler Durden
2016-01-06 01:14:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Numbrite registreerimise digitaalse süsteemi väärtus on see, et see võimaldab aritmeetiliste arvutuste tegemiseks ülevaatlikumat ja arusaadavamat meetodit. Enne hindu numbrite kasutamist oli kombineeritud süsteemide (nagu rooma numbrid) kasutamine tavapärane. Nii näiteks on 83 LXXXIII. Kaasaegse digitaalse süsteemi algatas Fibonacci Liber Abaci s, kuid selle süstemaatiliseks kasutamiseks kulus sõna otseses mõttes sadu aastaid. Pikka aega käis "abatsistide ja algoritmide" vahel võitlus selle üle, kumb süsteem on parem. Toimusid isegi võistlused ja turniirid, kus kaks erinevat kooli konkureerisid kiiruse lisamise kohtumistes vastamisi.

Lõpuks selgus, et digitaalsete numbrite lisamine ja korrutamine on lihtsam kui murd- või liitväärtustega töötamine. See juhtus Napieri Mirifici Logarithmorumi avaldamisega, mida Edward Wright 1616. aastal redigeeris ja täiustas. Alguses märkasid kalkulaatorid Napieri raamatut, kuid pärast seda, kui John Wallis 1660. aasta paiku oma meetodid kasutusele võttis, kasutati seda. digitaalsete märkide ja kümnendkohtade arv muutus universaalseks ja otsustavaks.

Need olid levinud juba vähemalt 4. sajandil asuvas Surya Siddhantas, tõenäoliselt sama vanad kui Rg Veda. Astronoomias kasutati mõisteid nagu Yuga ja Kalpa ning igas orbiiti.
#4
  0
Partha Shakkottai
2019-07-21 03:12:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Hea aritmeetika jaoks on vajalik 0 ja kohaväärtuse mõiste. Ilma selleta poleks arenenud kaasaegset teadust, inseneriteadust ja astronoomiat ning täpset kalendrit ja navigatsioonitabeleid. Näide on toodud allpool.

0 olulisus on täpse praktilise kasulikkuse ja mitte ainult lihtsate kirjelduste mõtteliste eeliste poolest.

Bakhsh1ali valem (4. sajandi käsikirjast) p Oletame, et soovime leida sqrt (N), kus N> 0. Avaldame N kui N = A ^ 2 + b, kus | b | on A-ga võrreldes väike (võimalikult väike lihtsa aimamise piires.

Võttes A = 3 ja b = 1, murd 3 ja 1/6 = 3,167; arvutus, kasutades ainult ratsionaalseid toiminguid , st +, -, *, /). Kasutades lineaarset lähendust sqrt (1 + x) = 1 + x / 2,

x ~ 0 (see on puutuja ligikaudne) saame: sqrt (A ^ 2 + b) = A + b / 2A. See babüloonlastele teada olnud valem annab üsna hea ligikaudse tulemuse; nt SQRT (10) korral annab see A = 3 ja b = 1, murd 3 = 6 = 3,167 võrreldes 3: 162.

Kuid Bakhsh1ali valem läheb kaugemale, lisades lisatermini. Tegelikult öeldakse: Ruuduvälise numbri korral lahutage lähim ruutuarv, jagage ülejäänu selle lähima ruudu kaks korda; pool sellest ruudust jagatakse ligikaudse juure ja murdosa summaga. See lahutatakse ja annab parandatud juure. Kui keegi on selle retsepti dešifreerinud, osutub see samaväärseks järgmise valemiga: (A ^ 2 + b) ^ 1/2 = A + b / 2A - (b / 2A) ^ 2/2 (A + b / 2A ).

Näiteks kui N = 11, võime võtta A = 3 ja b = 2. Valem annab siis: 3 + 1/3 - 1/9 / 2 (3 + 1/3) = 3 + 1 / 3-1 / 60 = 3,31667

Võrdle seda tegeliku väärtusega: (11) ^ 1/2 = 3,31662. Me näeme, et kuigi b pole kaugeltki A-ga võrreldes "väike", oleme siiski saanud nelja kümnendkoha täpsuse.

Kui valida A = 3,3 ja b = 11–3,3 ^ 2, hüppab täpsus väärtuseni 79201/23880, mis on 3,316624790, täpsusega 9 kümnendkohani. alates

https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/017/09/0884-0894



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...