Küsimus:
Mis kujul on metamatemaatika valdkond tänapäeval olemas?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kirjutasin Vikipeedia artiklit metamatemaatika jaoks ümber ja pärast 1930. aastaid oli väga raske viiteid leida. Kõige olulisemad tööd näivad olevat olnud Gödeli terviklikkuse ja mittetäielikkuse teoreem. / p>

Mulle meeldib see küsimus, kuna see välistab vastuseks vikipeedia kasutamise! :)
GEB-i ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) lugemisest on mõni aeg möödas, kuid see võib anda juhtpositsiooni või lõppeb see Turingiga (st. Mitte kaugel Godelist!)?
Hääletus selle teema lahendamiseks Vikipeedias.
Kaks vastused:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Tänapäeval on metamatemaatika matemaatilise loogika maastiku standardne osa.

Ühest küljest tuleks ilmselt enamikku matemaatika alustaladega seotud töid pidada metamatemaatilisteks. Standardvundament on seadeteoreetiline, ZFC ja selle variandid on tavalised vormistused. Kuid see pole kaugeltki ainus võimalus ja näiteks on hiljuti tehtud tööd abstraktse homotoopia teooria põhjal selle kohta, mida me nüüd nimetame ühevalentseteks alusteks. Mõnes mõttes on see ehk Principiale lähemal kui ZFC, kuna tüübiteoorial on tõsine roll. Teisest küljest on lähenemine tõepoolest kategooriateoreetiline ja kategooriad, kus Principia ajal pole seda tegelikult ette nähtud. Kuigi see uus lähenemisviis pälvib suurt tähelepanu, on loogikute kogukond laiemalt alles hakanud aru saama selle ulatusest ja võimalustest. FOM-i (matemaatika alused) meililoendis on hiljutine lõimede seeria illustreerinud praegust pinget.

Suure osa teadusuuringutest matemaatilise loogika standardsetes valdkondades juhivad metemaatilised kaalutlused , isegi kui mitte muudetud sihtasutuste tähenduses.

Näiteks uurib pöördmatemaatika (mainitud ka teises vastuses) küsimust, milliseid kogumi-eksistentsi aksioome on standardsete matemaatiliste argumentide jaoks tegelikult vaja. Tüüpilised tulemused väidavad siin, et standardne teoreem (näiteks klassikalise analüüsi vaheväärtuste teoreem) on samaväärne või vähemalt tähendab (mõistlikult nõrga taustateooria korral, kus arutelu toimub) abstraktset "olemasolu" aksioomi (nt igal lõpmatul binaarsel puul on lõpmatu haru) või matemaatilise induktsiooni eksemplar.

Tõestusteooria käsitleb teooriaid kui matemaatilisi objekte ja uurib nende tugevust, lähtudes kas tõestuste pikkusest (sobivalt määratletud), võrreldes mõne standardvalikuga, või peenematel viisidel (näiteks nn tõestuse kaalutlused) -teoreetilised ordinaalid). Näiteks Peano aritmeetikas, mis on arvuteooria standardne aksioomide esmakordne süsteem, saame hõlpsasti määratleda Turingi masinad, tavalise "arvutiprogrammide" vormindamise. Seejärel saame öelda, kas binaarne seos < 'loomulikel arvudel on rekursiivne, mis tähendab, et on olemas algoritm (Turingi masin), mis võib otsustada mis tahes arvude paari n, m, olenemata sellest, kas n<'m. Paljud rekursiivsed suhted on tegelikult heakorrad ja arvestades sellist seost R ja teooriat T (laiendades Peano aritmeetikat), võime küsida, kas T saab aimata, et R on hästi korrastatud. Üldiselt on tõestatavate hästi tellimuste pikkus märkimisväärselt väike, võrreldes kõigi rekursiivsete hästi tellimuste pikkusega. Seejärel saame teooriaid võrrelda, kontrollides, millised tõestavad pikemate (rekursiivsete) heakorrastuste korralikkust. Selle kirjelduse põhjal tundub see veidi ekstsentriline, kuid see on tihedalt seotud sellega, kui palju transfinite induktsiooni teooria suudab vormistada ja tõestada, nii et need tõestusteoreetilised ordinaalid on tegelikult vägagi mõistlikud mõõdupuud väljenduste ja teooriate tugevus.

Hulgateoorias on üheks standardteemaks teooriate järjepidevuse tugevuse võrdlemine. Goedeli tööst teame, et mõistlik teooria T ei suuda oma järjepidevust tõestada, nii et kui teooria T õnnestub tõestada teooria S järjepidevust, annab see meile loomuliku viisi, kuidas T on tugevam kui S. hierarhia on põnev matemaatiline objekt. Selgub, et ZFC looduslike pikenduste T puhul on meil tavaliselt võimalik tuvastada suur kardinaalne aksioom, mille lisamisel ZFC-le on teooria T-ga võrdne. See annab meile T-i suure kardinaalse kaaslase ja puhtalt matemaatilise uuringu suurte kardinalide arv peegeldab siis teooriate tugevuste uurimist. See, et sellist asja üldse on, on tähelepanuväärne. Sisemudeli teooria on kogumiteooria valdkond, mis puudutab kõige otsesemalt end selle nähtuse seletamiseks. Teooria kaaslase tegelik tuvastamine seevastu on tänapäeval enamasti kombineeriv küsimus, tänu Coheni sundimeetodi väljatöötamisele.

Viiteid ühevalentsetele sihtasutustele leiate siit ja siit. Pöördmatemaatika kohta vaadake lisaks vastusele antud lingile näiteks siin. Tõestusteooria kohta vaadake siin. Komplektiteooria järjepidevuse hierarhia kohta vt siit, kuigi asjakohased on ka paljud John Steeli ettekanded ja kõnelused. Samuti on paljud minu postitused MathOverflowis ja Math.Stackexchangeis seotud selle teemaga. Lubage mul välja tuua see.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

On mitmeid uuemaid teoseid teemadel, mida võib pidada metamatemaatikaks.

Näiteks alustas pöördmatemaatikat seitsmekümnendate keskel Harvey Friedman.

Hiljuti tekkis homotoopia tüübi teooria ja ühetaoliste sihtasutuste ümber üsna palju elevust mitte ainult, vaid ka seetõttu, et see seondub hästi vaevaga saada automaatselt kontrollitavad tõendid.

Ja ütlematagi on tõestusteoorias ja teistes matemaatilise loogika harudes mitmeid muid töid. Probleem, mida võite tajuda, väljendub vastuses MathOverflow kohta metamatemaatikat käsitlevale küsimusele; probleeme uuritakse endiselt, kuid neid ei peeta enam meta matemaatikaks, vaid pigem "lihtsalt tavaliseks matemaatikaks".

Kui võtate oma küsimuse mõnevõrra teises suunas, võib väita, et jõupingutused, et muuta üha rohkem matemaatikat ametlikuks kontrollimiseks tõendavate assistentide või isegi automatiseeritud teoreemide tõestamise kaudu on loomulik ja praegune jätk matemaatika vormistamise varajastele jõupingutustele.



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...