Kompleksarvude esimene tõsine kasutamine on ruut-, kuup- ja kvartsnurkade polünoomide juurte leidmine. Cardano näitas oma Ars Magna s (1545) kõigepealt, et ruutvõrranditel võivad olla (formaalselt) keerulised juured, ehkki ta ei nimetanud neid nii; ta ütles, et nad olid "sama peened kui [kasutud]". Bombelli algebratekstis (1572) töötas ta välja keeruka aritmeetika reeglid ja näitas, et Cardano kuupmeetri valem võib viia reaalsete lahendusteni, kuigi vahetulemused olid kujuteldavad. Muide, mulle on mitu korda öeldud, et tähis $ i = \ sqrt {-1} $ töötati välja ainult selleks, et kaitsta levinud vea eest ' tõestamine ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Peamine ülevaade, mis 18. sajandi alguses saavutati, on keeruline seos kompleksarvude ja geomeetria vahel. Täheldati, et $ i $ saab kasutada paljude trigonomeetriliste identiteetide lihtsustamiseks ja 1748. aastal avastas Euler oma kuulsa ja ilusa valemi $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (tuletis erines pigem tänapäevastes õpikutes tavaliselt esitatust; vt sarja seda kirjet Kuidas Euler seda tegi .)

Kompleksarvu kontseptsioon lennukipunktina on veel üks tähelepanuväärne avastus. Seda konstruktsiooni kasutas Wessel juba 1799. aastal ja Argand avastas selle iseseisvalt uuesti, kuid see kogus tõepoolest populaarsust, kui Gauss avaldas oma traktaadi keerulistest numbritest. See raamat kehtestas ka suure osa kaasaegsest noodist ja terminoloogiast, mida kasutatakse kompleksanalüüsis.

Ainult Danu vastuse täienduseks. Mõned inimesed kasutasid keerukaid numbreid alates 16. sajandist, kuid WIDE aktsepteerimine tuli hiljem (18. sajandi lõpus), kui mitu inimest (Argand, Vessel, Gauss) avastasid geomeetrilise tõlgenduse.

See oli ilmselt nii oluline samm. Sellegipoolest ei olnud nad üldtunnustatud. Nad ütlevad, et isegi Tšebõšev ei kasutanud neid kunagi.

Teine sündmus, mis võib olla märkimisväärne: 19. sajandi alguses hakkasid füüsikud neid kasutama (Fresnel).

Peale kuup-polünoomide juurte arvutamise vajalikkuse, on polünoomvõrrandites veel üks põhilisem roll - kompleksarvud, mida hakati hindama alles 17. sajandil. Seda rolli väljendab algebra põhiteore , mis ütleb, et mis tahes mittekonstantsel polünoomvõrrandil on vähemalt üks juur, kui lubame kompleksarvudel olla juured. See tähendab, et kui $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ on sellised reaalarvud et vähemalt üks tähtedest $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ pole null, siis võrrand \ begin {equation} \ label {e: polynomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {võrrandil} on lahendus tingimusel, et $ x $ võib olla keeruka väärtusega. Kui $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , siis saab võrrandist $ p (x) = 0 $ $ a_0 = 0 $, millel pole $ a_0 \ neq0 $ korral ühtegi (keerukat) lahendit. Nii et tingimuseks, et vähemalt üks järgmistest: $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ pole null (st $ p (x) $ pole pidev) on lihtsalt selle tühise juhtumi välistamiseks. Põhiteoreem algebra on imeline, sest kompleksarvud on mõeldud mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks ja on a priori mõeldav, et peame iga kord, kui suurendame polünoomvõrrandi astet, kasutusele võtma uut tüüpi "arvu". Algebra põhiteoreemi esimese sõnastuse esitas Albert Girard (1595-1632) 1629. aastal, kuigi ta ei proovinud tõestada. Selle teoreemi ranged tõendid ilmnesid alles 19. sajandi alguses, mis tähistab muide ajastu algus, mil kompleksarvude olemasolu ja kasulikkust aktsepteeriti laialdaselt.

Kõik keerukate arvude olemasolu ja olulisuse kahtlused kõrvaldati täielikult pärast kompleksanalüüsi em väljatöötamist >, mis on tuntud ka kui funktsiooniteooria . Kompleksse muutuja funktsioonide uurimise esialgne ajend oli nende kasutamine tegelike kindlate integraalide arvutamiseks (või lihtsustamiseks), ja sellesuunalised tööd tegid Euler ja Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) umbes aastatel 1760–1780. Nende uurimistöö asus hiljem 1810-ndatel Augustin Louis Cauchy (1789–1857), kes mõistis aastaks 1821, et keerukatel funktsioonidel on oma rikkalik teooria. Gauss jõudis samale arusaamale juba 1811. aastal ja mängis suurt rolli kompleksarvude populariseerimisel, kuid ta ei aidanud otseselt kaasa keeruka analüüsi väljatöötamisele. Seega umbes aastatel 1820–1850 Cauchy töötas välja kõik kompleksanalüüsi põhitulemused, võib-olla, välja arvatud Laurenti seeria, mis ilmus esmakordselt Pierre Alphonse Laurent'i (1813–1854) 1843. aastal esitatud dokumendis.