Peale kuup-polünoomide juurte arvutamise vajalikkuse, on polünoomvõrrandites veel üks põhilisem roll - kompleksarvud, mida hakati hindama alles 17. sajandil. Seda rolli väljendab algebra põhiteore , mis ütleb, et mis tahes mittekonstantsel polünoomvõrrandil on vähemalt üks juur, kui lubame kompleksarvudel olla juured. See tähendab, et kui $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ on sellised reaalarvud et vähemalt üks tähtedest $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ pole null, siis võrrand \ begin {equation} \ label {e: polynomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {võrrandil} on lahendus tingimusel, et $ x $ võib olla keeruka väärtusega. Kui $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , siis saab võrrandist $ p (x) = 0 $ $ a_0 = 0 $, millel pole $ a_0 \ neq0 $ korral ühtegi (keerukat) lahendit. Nii et tingimuseks, et vähemalt üks järgmistest: $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ pole null (st $ p (x) $ pole pidev) on lihtsalt selle tühise juhtumi välistamiseks. Põhiteoreem algebra on imeline, sest kompleksarvud on mõeldud mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks ja on a priori mõeldav, et peame iga kord, kui suurendame polünoomvõrrandi astet, kasutusele võtma uut tüüpi "arvu". Algebra põhiteoreemi esimese sõnastuse esitas Albert Girard (1595-1632) 1629. aastal, kuigi ta ei proovinud tõestada. Selle teoreemi ranged tõendid ilmnesid alles 19. sajandi alguses, mis tähistab muide ajastu algus, mil kompleksarvude olemasolu ja kasulikkust aktsepteeriti laialdaselt.
Kõik keerukate arvude olemasolu ja olulisuse kahtlused kõrvaldati täielikult pärast kompleksanalüüsi em väljatöötamist >, mis on tuntud ka kui funktsiooniteooria . Kompleksse muutuja funktsioonide uurimise esialgne ajend oli nende kasutamine tegelike kindlate integraalide arvutamiseks (või lihtsustamiseks),
ja sellesuunalised tööd tegid Euler ja Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) umbes aastatel 1760–1780. Nende uurimistöö asus hiljem 1810-ndatel Augustin Louis Cauchy (1789–1857), kes mõistis aastaks 1821, et keerukatel funktsioonidel on oma rikkalik teooria. Gauss jõudis samale arusaamale juba 1811. aastal ja mängis suurt rolli kompleksarvude populariseerimisel, kuid ta ei aidanud otseselt kaasa keeruka analüüsi väljatöötamisele. Seega umbes aastatel 1820–1850 Cauchy töötas välja kõik kompleksanalüüsi põhitulemused, võib-olla, välja arvatud Laurenti seeria, mis ilmus esmakordselt Pierre Alphonse Laurent'i (1813–1854) 1843. aastal esitatud dokumendis.