Küsimus:
Kas on kirjalikke (19. sajandi) allikaid, mis väljendavad veendumust, et vaheväärtusega vara on samaväärne järjepidevusega?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nagu pealkirjas küsiti:

Kas on mingeid kirjalikke allikaid (alates 19. sajandist), mis väidavad sõnaselgelt, et mis tahes funktsioon, mis vastab vaheväärtuse omadusele, on pidev?

(Ma ei usu, et oleks mõtet otsida varasemaid allikaid, kuna järjepidevuse mõiste muudeti rangeks alles 19. sajandil. See küsimus sai alguse minu antud vastusest aadressil Math.Stackexchange. See, mis järgneb, laenab sellest vastusest suuresti.)

Kui ma olen intervall ja f: I → ℝ, siis ütleme, et f-il on vaheväärtuse omadus siis ja ainult siis, kui alati ≠ b on I punktid, kui c on f (a) ja f (b) vahel, siis on ad a vahel ja b, kus f (d) = c.

Bolzano avaldas 1817. aastal oma kirjutise Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Puhtalt analüütiline tõestus selle kohta, et mis tahes kahe vastupidise märgi tulemusi andva väärtuse vahel on võrrandi vähemalt üks tegelik juur). Seal tõestab ta, et pidevad funktsioonid rahuldavad vaheväärtuse omadust. Nagu ta dokumendis märgib, arvati, et see väide vastab tõele ja selle õigustamiseks esitati mitu "geomeetrilist" argumenti.

Teisest küljest teame nüüd, et vaheväärtuse omadus on järjepidevusest palju nõrgem. Kena uuring, mis sisaldab üksikasjalikke näiteid funktsioonidest, mis on katkendlikud ja omavad siiski vaheväärtuse omadust, on

I. Halperin, katkematud funktsioonid atribuudiga Darboux , Can. Matemaatika. Bull., 2 (2) , (mai 1959), 111–118.

Halperini paberist leiame lõbusa tsitaadi

Kuni Darboux'i tööni 1875. aastal uskusid mõned matemaatikud, et omadus [vaheväärtus] viitab tegelikult f (x) järjepidevusele.

Seda väidet korratakse veel paljudes kohtades. Näiteks siin võib lugeda

19. sajandil uskusid mõned matemaatikud, et omadus [vaheväärtus] on samaväärne järjepidevusega.

See on väga sarnane sellega, mida leiame A. Brucknerilt, Reaalsete funktsioonide eristamine , AMS, 1994. 5. lehel loeme

Mõned 19. sajandi matemaatikud arvasid, et see vara on järjepidevuse omadusega samaväärne.

Vikipeedia:

Ajalooliselt on seda vaheväärtuse atribuuti pakutud kui tõeliselt hinnatud funktsioonide järjepidevuse määratlust [vajalik viide].

Ma ei suutnud leida otsest allikat see usk. Seda, et see tõesti nii oli, kinnitavad ehk järgmised kaks tsitaati Gaston Darbouxi Mémoire sur les fonctions katkeb Annilt. Sci. Scuola Norm. Sup., 4 , (1875), 161–248. Esiteks, lk 58–59 loeme:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on respecterait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions sugulased aux fonctions les plus générales. Par exemple, on verra qu'il existe des fonctions jätkub qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions katkestab qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Darbouxi paber tõestab, et tuletisinstrumentidel on omadus vaheväärtus ja et on katkendlikke tuletisi, seega kõigepealt kontrollides, kas need kaks mõistet ei ole samaväärsed. (Sel põhjusel nimetatakse vaheväärtuse omadust mõnikord omaduseks Darboux või isegi öeldakse, et selle omadusega funktsioon on Darboux pidev .)

Tõestus selle kohta, et tuletistel on omadus vaheväärtus, algab lk 109, kust me loeme:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions katkestab qui jouissent d'une propriété que l'on tekintettel quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions jätkub, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Vikipeedia mainib järgmist:

Enne järjepidevuse ametliku määratluse andmist anti vaheväärtuse omadus osana pidev funktsioon. Pooldajate seas on Louis Arbogast, kes eeldas, et funktsioonidel pole hüppeid, rahuldab vaheväärtuse omadust ja omab juurdekasvu, mille suurused vastasid muutuja juurdekasvu suurustele.

Artiklis viidatakse see sait, kuigi mul pole õnnestunud seda Arbogasti kirjutistest (või lingitud saidilt) kontrollida. Tõepoolest, Arbogasti näib olevat funktsiooni mõiste, mis on oluliselt piiravam kui meie tänapäevane järjepidevuse mõiste ja seetõttu kehtib seal ka vaheväärtuste teoreem. Ma ei näe, et ta tegeleks otse vaheväärtuse omadusega või viitab sellele, et see viitab järjepidevusele. (Arvestades tema arusaama funktsioonist, pole ma isegi kindel, kas see oleks olnud mõttekas.)

Lõpuks lubage mul küsida:

Kui tegelikult pole nii, et kirjanduses on sõnaselgelt öeldud usk nende kahe mõiste samaväärsusse, siis kust on pärit valeväide? (Kas see on Halperini paberil?)

Mulle on hiljuti teada antud [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni jätkata nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. Tundub, et paber puudutab ennast vähemalt osaliselt just selle küsimusega. Laiendan seda vastuseks, kui olen paberit hoolikalt lugenud ja kinnitanud selle asjakohasust.
Kolm vastused:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Üks vastus teie küsimusele võib olla see, et eraldamine tuli tegelikult üsna hilja. Vikipeedia väidab, et "varasemad autorid pidasid tulemust intuitiivselt ilmseks ja ei vaja tõendeid.", Nii et kuni Bolzano ja Cauchy vormistasid järjepidevuse, pole minu arvates mõtet tõendeid leida. Seega peame otsima inimesi, kes loevad Bolzanot või Cauchyt ja uskusid, et keskmise väärtusega vara on samaväärne järjepidevusega.

Nagu te oma küsimuses juba väitsite, näitas Darboux 1875. aastal, et teoreemi saate kontrollida ilma pidev. See jätab avaldatud absurdide leidmiseks väikese akna - 1817–1875.

Ja siin tuleb Darboux ise.

La propriété précédente a jätkub souvent étée preemia pour la définition des fonctions

mis tähendab:

Eelnimetatud ettepanekut aeti tihti segi pideva fonctioni määratlusega

Nii et see vastab teie teisele küsimusele: kui varasemaid tõendeid ei leita, esitas Darboux ise väite, et viga oli laialt levinud enne oma tööd.

Sama memuaari sissejuhatuses väidab Darboux, et M. Hankeli 1870. aasta teos Riemanni memuaar i kohta, kus pole ka mingit etteheidet, kuid pole selge, kas ta räägib kõigi funktsioonide tuletise olemasolust või vahepealse väärtuse teoreemist. Usun, et keegi, kes soovib leida segaduse tõendeid, võiks uurida M. Hankeli tööd, kuid ma ei leidnud paberit, mida Darboux kirjeldab.

Jah aitäh. Olen nõus, et asjakohased tunduvad ainult artiklid pärast Bolzanot ja enne Darbouxi. Samuti osutasin küsimuses, et Darboux viitab sellele, et viga oli "tavaline" (kaks minu valitud tsitaati tähendasid selle illustreerimist). Ma pole näinud ka Hankeli artiklit; Vaatan, kas järgmise paari päeva jooksul saan koopia.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

See pole tegelikult vastus, kuid on kommentaari mahtumiseks liiga pikk. Küsimus eeldab, et 19. sajandi definitsioonide kohaselt on vale, et vaheväärtusega vara tähendab järjepidevust. Mulle pole kaugeltki selge, et see nii oli.

Funktsiooni definitsiooni sõnastamiseks on palju võimalusi. Kolm näidet võiksid olla mõiste määratlemine valemina, punktide seatud mõistete kasutamine või jätkamine nagu tänapäevases sujuvas lõpmatuselt väiksemas analüüsis (SIA). Niipalju kui võin öelda WP artiklist " Funktsioonide kontseptsiooni ajalugu", ei saanud punkt-seatud versioon täielikult välja töötatud ja üldtunnustatud alles 20. sajandil.

Kui meil on nõudele vastunäide, siis iga reaalse $ y $ puhul on meil määratud $ S $ $ x $ väärtus $ S_x $, mis on võrdselt arvuline, kusjuures kõik $ S_x $ on lahus ja paiknevad piiratud intervallis . See on võrdne tõendiga, et $ \ mathbb {R} $ on võrdne arvuga $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. Selleks on vaja vähemalt järgmist:

(1) Nõustume funktsioonide olemasoluga, mis on kõikjal katkendlikud.

(2) Nõustume lõpmatuste Kantori analüüsiga.

Need on mõlemad olulised filosoofilised valikud , mitte vältimatud tõed. # 1 on vale näiteks SIA-s. # 2 oli 19. sajandi lõpus väga vastuoluline.

Nii et ma arvan, et parem viis küsimuse esitamiseks võiks olla selline: millisel hetkel 19. või 20. sajandil tekkis definitsioonide ja filosoofia osas piisav konsensus, et muuta standardvalikute kohaselt valeks, et vaheväärtusega vara tähendab järjepidevust?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ausalt öeldes ei saa ma aru, kuidas keegi 19. sajandil võis arvata, et vaheväärtusega vara tähendab järjepidevust. Võtke $ y (x) = 0 $ , kui $ x = 0 $ ja $ y = sin (1 / x) $ muul juhul ja teil on oma vastunäide.

Ma kahtlustan, et reaalajas juhtumianalüüsiga määratletud funktsioone võeti arvesse üsna hilja. Keegi teab üksikasju?


See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...