Küsimus:
Kuidas ja millal taasavastati Bolzano tõend Bolzano-Weierstrassi teoreemi kohta?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Olen alati olnud uudishimulik, kui suured unustatud ideed taasavastatakse. See küsimus: Kas on olemas kirjalikke (19. sajandi) allikaid, mis väljendaksid veendumust, et vahepealse väärtuse omadus on samaväärne järjepidevusega? viisin järgmise artiklini:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - pole tema kaasaegsete jaoks nii tundmatu kui tavaliselt arvatakse?" Historia Mathematica , 20 (1): 45–53, 1993. (Elsevieri palgamüür , vabandust, et ma ei leidnud vabastatud versiooni.)

mis ütleb, et "Herman Hankelile omistatakse, et ta oli esimene, kes Bolzano 1871. aastal matemaatikakogukonna üldisele tähelepanu juhtis. " (ja Schubring väidab edasi, et tegelikult oli Bolzano looming Crelle Berliinis 1825. aasta paiku tõenäoliselt teada olnud, enne kui see unustati.)

Kuidas Hankel Bolzano tööle sattus ja mõistis, et Bolzanol oli eesõigus Weierstrass?

üks vastus:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Õiglane hoiatus: see vastus ei vasta küsimusele täielikult, kuid arvan, et see võib vastata küsimusele nii hästi kui võimalik.

Hankeli kirjutatud artikkel (ilmunud 1971), mis on tavaliselt krediteeritud Bolzano teose "taasavastamise" eest. See oli artikkel Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste 1. jaotises Theil 90 (Gregorius - Grezin), mis on üks suurimaid entsüklopeediaid, mis on kunagi kirjutatud (hõlmates 167 köidet vaatamata lõpetamata). Seda jaotist saate vabalt lugeda siin Google Booksis. Hankeli artikkel on teemal "Grenze" ("piirid").

Asjakohane Bolzanot puudutav lõik on lehekülgedel 209–210, kus arutletakse analüüsi ajaloo üle. Pakun selle lõigu ligikaudse tõlke tänapäevases inglise keeles. Pange tähele, et ma ei oska enam saksa keelt, seega on tõlge palju äraarvamist ja võin mõnes kohas eksida. Igaüks, kes oskab saksa keelt, peaks julgelt märkima vigu.

Veelgi hullem oli veel üks kaasaegne, kes jäi toona ja nüüd matemaatikute seas peaaegu täiesti tundmatuks: Peame tagasi nõudma esimese karmi arengu prioriteedi. seeria algebralist analüüsi suurepärase Bernhard Bolzano kasuks. Bolzano ettekujutused sarja lähenemisest on üsna selgelt ja korrektselt kirjutatud, kõik tema operatsioonid lõpmatute seeriatega on kõik rangelt tõestatud ja nende väidete väljatöötamisel tõeliste argumentide jaoks pole midagi valesti, mida ta eeldab kõikjal. Eessõnas kritiseerib ta tabavalt Binominali teoreemi varasemaid tuletisi ja seejärel lõpmatute seeriate tavapärast piiramatut kasutamist. Lühidalt, see töö ei olnud ainult Prantsuse kunst, ta tuleks selles osas asetada Cauchyga samale tasemele ja öelda oma mõtted meeldivalt. Kuid Bolzano jäi tundmatuks ja ununes peagi; Cauchy oli see õnnelik, keda kiideti kui teaduse reformaatorit ja kelle elegantsed kirjutised leidsid lühikese aja jooksul üldist levikut.

Selles lõigus kiidab Hankel Bolzanot põhimõtteliselt paljude analüüsi aluste väljatöötamisel Cauchyst (ja aastaid enne seda). Bolzano tööd jäid aga teadmata, samas kui Prantsuse matemaatikaringkondades hästi ühenduses olnud Cauchyl oli oma tööd lihtne edasi anda. Hankel ei maini, kust või kuidas ta Bolzano teose leidis.

Siin on mõni ajalooline kommentaar korras. 1871 on märkimisväärne aasta; Täpsemalt, see on aasta, mil Prantsuse-Preisi sõda oli Saksamaa tugev riiklik uhkus ja üldine vastumeelsus kõigele prantsuse keelele. Entsüklopeedia, kuhu Hankel kirjutas, pidi olema midagi entsüklopeediat "saksa rahva poolt ja poolt". Hankel poleks kindlasti olnud hea meel, kui ta oleks pidanud analüüsi väljatöötamise eest tunnustama prantslast Cauchyt. Parem oli anda see Bolzanole. Muidugi, Bolzano ei olnud ideaalne saksa matemaatik, kuna ta veetis suurema osa oma akadeemilisest karjäärist Austrias ning oli sama palju filosoof ja teoloog kui matemaatik (ja samal ajal vaieldav), kuid ta rääkis ja kirjutas saksa keeles, ja sama oluline ei olnud prantsuse keel. Ja Bolzano tegi tõesti (enamasti) asju, mida Hankel talle omistas. Selguse huvides ei süüdista ma Hankelit üheski õiguserikkumises, osutades sellele välja, öeldes vaid, et tal oli märkimisväärne huvi omistada võimalikult palju Bolzanole.

Siiski on siiski mingi probleem analüüsi piiride väljatöötamise omistamine Bolzanole Cauchy üle, ehkki see on pigem filosoofiline kui matemaatiline. Tõenäoliselt tõlgendas Bolzano oma teoreeme teistsugusel viisil kui hilisemad lugejad. Tõepoolest, Steve Russ väidab "Bernard Bolzano matemaatilistes töödes", et Bolzano poleks oma teoreemidest üldse mõelnud piiride osas, mida ta oleks seostanud just nende lõpmatustega, millega ta üritas loobuda. Lehekülgedelt 146–147:

Kuid Bolzano teose tänapäevane tunnustamine tekitab ajaloolise probleemi. Alates Hankeli 1871. aasta artiklist kuni Bitkhoffi (1973) väljavõteteni on kommentaatorid kaldunud Bolzanole erilist au andma küsimustes, mida ta tol ajal nägi nendest hilisematest kriitikutest hoopis teises valguses. Siinkohal mõtleme täna aritmeetilisele piirikontseptsioonile ja lõpmatute seeriate lähenemise kontseptsioonile. Neid mõisteid oli mingil kujul kasutatud pikka aega ja otsustades teiste kirjutiste näidete põhjal, poleks Bolzano olnud liiga tagasihoidlik, et neid uuteks ja originaalseteks väita, kui ta oleks neid sellisena pidanud. Ta ei tee seda. Kahtlemata usaldas ta neid määratlusi väga; nad täitsid tema kontseptuaalseid nõudeid, ta teadis, et need on analüüsi väljatöötamisel viljakad ja tõhusad, kuid ei väida kunagi, et need oleksid tema enda omad.

Tavaliselt eeldatakse, et pärast ω- või Ω-märgistusega koguste kasutuselevõttu, võib-olla ka tellimustega, on see välja toodud jaotises BL §14 jj. üsna tavaline piiride teooria. Irooniline on see, et Bolzanol ja enamikul tema kaasaegsetest oleksid piirid seotud lõpmatu protsesside (või lõpmatult väikeste kogustega). Ja nii oleks ta olnud sel ajal kohutav, et teda sellise teooriaga seostatakse. Sarnased märkused kehtivad ka tema sarjade lähenemise teemal. Ta uskus, et käsitleb negatiivsete ja ratsionaalsete eksponentide binoomseeriat puhtalt piiritletud viisil. Viis, kuidas ta kasutab oma ω suurusi - muutuvad suurused, mis võivad muutuda väiksemaks kui mis tahes antud kogused või mis võivad muutuda nii väikesteks kui meile meeldib, meeldis loomulikult lõpmatule väärtuste vahemikule. Me võime neid nimetada "meelevaldselt väikesteks kogusteks". Rusnock pakub, et selline muutuja kontseptsioon, mis võib muutuda nii väikeseks kui soovitud, oli tol ajal tavaline. See on mingisugune vaste füüsikalisele muutujale. Ta soovitab, et Bolzano ω väärtusi võidakse tõlgendada kui väärtusi vahemikke , mis sisaldavad nulli ...

See tähendab, et Hankeli hinnang Bolzanole kui range analüüsi piiride teooria, kuigi see on õige matemaatilise sisu osas, on kindlasti vale, kui võtame arvesse tema töö filosoofilisi aspekte. Kuid muidugi isegi siis, kui Hankel sellest aru sai, polnud tal sellest midagi selgesõnaliselt oma artiklis välja tuua. Igal juhul ei olnud Bolzano meetodid ega tema teoreemid sugugi vähem ranged kui Cauchy omad; lihtsalt tema tõlgendused teoreemide definitsioonidest ja sisust olid erinevad.

Igal juhul pange tähele, et Hankel ei maininud konkreetselt Bolzano-Weierstrassi ega ka vaheväärtuste teoreemi (mis oli Bolzano ülim eesmärk, mille poole Bolzano-Weierstrass oli lihtsalt lemma). See pole eriti üllatav. Ehkki Hankel oli tõenäoliselt teadlik Weierstrassi tulemusest (nad olid üksteisega hästi tuttavad, oli Hankel enne doktorikraadi 1861 aastal Berliinis Weierstrassiga koostööd teinud) olnud selle tähenduslikkuse hindamiseks ilmselt liiga hiljutine, eriti sedalaadi kontekstis väljaanne. Pole isegi selge, et Hankel oli lugenud Bolzano töö osasid, mis olid seotud vaheväärtuste teoreemiga; osad, millele ta artiklis viitab, on mujal. Nii et tegelikult ei olnud Hankel see, kes siin Bolzano prioriteediks seadis.

Pärast Hankeli algset tsitaati läksid mõned matemaatikud tagasi ja lugesid Bolzano erinevaid teoseid, tõlgendades neid nüüdisaegsemas keeles. Eelkõige Otto Stolzile omistatakse paljude tema matemaatiliste teoste taasavastamine ja uuesti avaldamine aastal 1881. See hõlmas asjakohast artiklit Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , mis oli varasem kui Weierstrass ja isegi Cauchy, seades Bolzano prioriteedi vaheväärtuste teoreemi ja Bolzano-Weierstrassi teoreemi jaoks. Bolzano teoseid lugesid ka mitmed teised Saksa mõjukad matemaatikud ja filosoofid ning leiti veel mõned huvitavad matemaatilised tulemused. Tema pärandit kinnitasid tõenäoliselt väga mõjukad (vähemalt Göttingenis toimuvad) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen erinevad ajaloolised märkused, milles mainitakse tema loomingut mitu korda ajast kaugena ees.

See vastab Bolzano-Weierstrassi küsimusele, kuid endiselt on püsiv vastuseta küsimus, nimelt kuidas Hankel üldse Bolzano leidis (mis oli suur osa teie algsest küsimusest). Ma ei tea sellele vastust ja minu teada ei tea keegi. Võib-olla oli tal mingi arusaam, et eksisteeris Ida-Euroopa analüütilise filosoofia koolkond, mis 19. sajandi alguses käsitles lõpmatustega seotud probleeme ja ei olnud rahul Leibnizi mitteametliku lähenemisega kalkuleerimisele. Või sattus ta artikli kirjutamisel vestlusesse kellegagi (võib-olla kellegagi, kes oli tuttav Bolzano loominguga teie tsiteeritud artiklis mainitud 1820ndate perioodist, või isegi mitte matemaatikuga), kes soovitas tal sellesse vaadata suund. Hankel tegi korraliku uurimuse matemaatika ajaloost (ehkki tema ajaloolistel töödel oli tavaliselt märkimisväärseid vigu), osutades ka Hermann Grassmanni töö olulisusele 1867. aastal kaks aastakümmet pärast seda, kui Grassman oli sisuliselt peatunud tegeleb matemaatikaga, seega oli tal kindlasti eelkäijate töödest mõnevõrra laiem arusaam kui oma aja keskmisel matemaatikul. Kuidas Hankel Bolzano täpselt leidis, on kellegi arvamus, kuid kui ta seda leidis, on üsna selge, et ta ei hakanud seda lihtsalt oma artiklis ignoreerima, hoolimata sellest, mida Bolzano oma tulemuste tõlgendamiseks tegi / ei mõelnud. Hankel suri 1873. aastal, vaid kaks aastat pärast artikli avaldamist ja minu teada ei kommenteerinud ta enam Bolzano loomingut. Ehkki võib olla võimalik jälgida erinevate matemaatikute liikumisi aastatel 1817–1871, et proovida välja mõelda, kuidas idee võis Hankelile edeneda (näiliselt Heraklese ülesanne, ehkki mitte tehniliselt võimatu), jõuaksime parimal juhul siiski oletus ja tõde on ajaloo jaoks tõenäoliselt kadunud.



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...