Küsimus:
Millised näited viisid topoloogilise ruumi tänapäevase määratluseni?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Tänapäeval on topoloogiliste ruumide keel avatud komplektide kaudu põhiline paljudes matemaatika valdkondades ja on natuke salapärane, et sama formalism haarab edukalt nii mitmesugust käitumist. Ma võin mõelda topoloogia definitsiooni leiutamiseks mitut sõltumatut põhjust, mis kõik oleksid olnud matemaatikute radariekraanidel umbes sel ajal, kui määratlust 20. sajandi alguses esimest korda mõeldi:

  1. Anda alus Kleini Erlangeni programmile ning Poincare'i tööle Betti arvude ja põhigrupi kohta
  2. Selgitada arvutusaluste aluseid, nt. kompaktsuse roll ekstreemsete väärtuste teoreemis
  3. Eristada mitmesuguseid funktsioonide lähenemise mõisteid (mis viib funktsionaalse analüüsini)
  4. Mõistma algebralises "üldiste" konfiguratsioonidega seotud argumentidele geomeetria

Minu arusaam on, et topoloogiliste ruumide tänapäevase formalismi ilmnemine võttis üsna palju aega, nii et ma mõtlen, millised konkreetsed tulemused või näited olid selle arengus kõige mõjukamad? Millised teooria tänapäevased rakendused realiseerusid alles pärast selle küpsemist?

Ma arvan, et Volterra ja mõned teised (usun, et algasid 1880. aastate keskpaigast või lõpust), kes hakkasid variatsioonimeetodeid mõtestama, rääkides arvutamisest "kõverate funktsioonidega" (nt nende pikkus) ja Frecheti hilisemast ühendamisest. nendest ideedest oma 1906. aasta Ph.D. väitekiri, oli palju pistmist topoloogia mõistete arenguga. Vaadake ka matemaatika Stackexchange'i küsimust [Topoloogia tänapäevase määratluse alged] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Hea küsimus, miks topoloogiat tutvustatakse avatud komplektide kaudu. Kui mulle tutvustati kolledžis minu füüsikatundi - need tundusid selgelt muljetavaldavad ja mõte avatud komplektidest polnud neile sugugi loomulik. Tegelikult saab topoloogiat tutvustada piiride üldistamise kaudu - mis ma nende jaoks eeldan, et see oleks palju loomulikum. Usun, et Liebnizil oli juba embrüonaalsel kujul järjepidevuse tänapäevane mõiste.
Kaks vastused:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Usun, et meie tänapäevane topoloogilise ruumi määratlus tuli peamiselt Hausdorffi raamatust Grundzüge der Mengenlehre (kogumiteooria alused), mis ilmus esmakordselt 1914. aastal, 2. väljaanne. 1927. Hausdorff alustas meetrilistest tühikutest, kuid üldistas need seejärel.

Loomulikult oli Hausdorffi töö taustaks 19. järjepidevuse teos ja nn "analüüsi aritmeetimine" - katse panna kalkulaator kindlale loogilisele alusele. Suurimad nimed on siin Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano ja Cantor. Kuid üldise topoloogia aksiomatiseerimine avatud või suletud hulga osas tuleneb Hausdorffist.

Kuuldud versioon ütleb tõepoolest, et see oli Hausdorff. Kollektori määratluses on vähe naabruskondi, mis on eukleidilises ruumis pallide avamiseks bijektiliselt kaardistatud, nii et üleminekukaardid on eukleidilises ruumis pidevad, kus need kattuvad. Siis nägi Hausdorff, et "pideva funktsiooni" definitsioonis vahemikus $ X \ kuni Y $ ei vaja te naabruskondi, et need vastaksid Eukleidese ruumi komplektidele, võite lihtsalt öelda iga $ a \ kohta X $ ja iga $ naabruskond $ B $ või $ f (a) $ asukohas $ Y $ on naabruskond $ A $ $ a $ dollarites $ X $ selline, et $ f $ kaardistab $ A $ dollariks $ B $. ...
... Ja siis ta ütles: mis oleks, kui võtaksime seda tüüpi ruumi ** määratlusena **, kus saaksime määratleda "pideva funktsiooni". Ta andis selleks aksioomid, kus esmane mõte oli punktide naabruskond. Hiljem tulid teised välja teiste definitsioonidega ja Hausdorff osutus kergeks erijuhtumiks ning on nüüd tuntud kui "Hausdorffi ruum".
@GeraldEdgar Kuulsin sama lugu, selle keerdumusega, et ta kohandas diferentsiaalkollektori määratlust üldisema pideva juhtumiga. Ka Weyl pidi kuidagi seotud olema. Kuid ma pole suutnud jälile jõuda, kui seda lugesin. Ma ei leidnud seda Weyl’i raamatust „Riemanni pinna kontseptsioon”.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Tundub, et topoloogiliste ruumide juured pärinevad XIX sajandist . See algas kaudselt piiride teooriast ja delta-epsiloni tõestustest. Suur läbimurre toimus hulga teooria (nt DeMorgani seadused) väljatöötamisel sajandi keskel kuni teisel poolel. See tõi kaasa piiride, lähenemise ja akumuleerumispunktide aksioomide "üldistamise", kasutades avatud ja suletud komplektide teooriat. Topoloogiat nimetatakse mõnikord "punktide kogumi" teooriaks.

Teie viidatud rakendused tulid "hiljem", see tähendab 20. sajandil. Nii tegid 1914. aastal nn eraldusaksioomid, alustades Hausdorffi tühikutest ja laiendades sajandi keskpaiku. Kuid nende rakenduste alus pandi eelmisel sajandil.

See ei vasta üldse küsimusele, kus küsitakse konkreetselt * topoloogiliste ruumide näiteid *. Teie vastus pole täiesti kasutu, kuid ma arvan, et see oleks kommentaarina parem.
@JackM: Küsimuses küsis OP, et "millised konkreetsed tulemused või näited olid kõige mõjukamad ..." vastasin, kasutades näiteid "tulemused", mitte näiteid. Sa oled matemaatik ja tegeled "näidetega". Olen ajaloolane ja tegelen "ajagraafikutega". (Vaadake meie vastavaid SE maine hindeid.) Ajaloolisest vaatepunktist vastavad "mis viisid" tulemustele nagu "piirid ja delta-epsiloni tõestused", samuti hulga teooriale. Nii et minu vastus ulatub 19. sajandisse. Mõne inimese jaoks võib see "suur pilt" olla sama kasulik kui kaasaegsed näited.


ⓘ
See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 3.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...